线性微分方程解的结构.pps

高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学一元微积分学 大大 学学 数数 学学（一一） 第三十七讲第三十七讲 线性微分方程解的结构线性微分方程解的结构 第七章 常微分方程 本章学习要求： n了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念. n了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分 方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法. n会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程. n知道下列高阶方程的降阶法： n了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法. n熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法. n掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余 弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法. 第四节 高阶常系数线性微分方程 一、高阶线性微分方程的一般理论 二、二阶常系数线性齐微分方程的解 三、二阶常系数线性非齐微分方程的解 1. 二阶线性齐微分方程的性质和解的结构 2. 二阶线性非齐微分方程解的结构 请点击 3. n 阶线性微分方程解的结构 一、高阶线性微分方程的一般理论 1. 二阶线性齐微分方程的性质和解的结构 二阶线性微分方程的一般形式为 通常称 ( 2 ) 为 ( 1 ) 的相对应的齐方程。 二阶线性齐微分方程的性质和解的结构 （1）叠加原理 （2） 线性无关、线性相关 （3）朗斯基 ( Wronsky ) 行列式 （4） 二阶线性齐微分方程解的结构 （5）刘维尔公式 请点击 (1) 叠加原理 的解，则它们的线性组合 也是方程 (2) 的解， 你打算怎么证明这个原理？ 证 的解，则它们的线性组合 也是方程 (2) 的解。 推推 广广 在什么情况下，叠加所得可以成为方程 (2) 的通解？ (2) 线性无关、线性相关 例1 证 由三角函数知识可知，这是不可能的，故 例2 证 （3）朗斯基 ( Wronsky ) 行列式 朗斯基行列式可以推广到 n 个函数的情形。 例3 （4） 二阶线性齐微分方程解的结构 定理定理 1 1 的两个线性无关的解，则 是方程 (2) 的通解。 定理定理 2 2 例4 解 又容易看出： 而 由叠加原理，原方程的通解为 问题：问题： 该该问题的解决归功于数学家刘维尔。问题的解决归功于数学家刘维尔。 代入方程中，得 怎么做？ 关于 z 的一阶线性方程 即 故有 两边积分，得 关于 z 的一阶线性方程 （5）刘维尔公式 为原方程的通解。 则 例5 解 由刘维尔公式 故原方程的通解为 2. 二阶线性非齐微分方程解的结构 (1) 解的性质 请点击 (1) 解的性质 性质性质 1 1 的一个特解，则 是原方程的一个特解。 性质性质 2 2 是其对应的齐方程 的一个特解。 性质性质 3 3 的一个特解，则 是方程 的一个特解。 性质性质 4 4 的一个特解。 可以直接验证性质1性质4 。 如何求特解？如何求特解？ 定理定理 3 3 的通解，则 是方程 (1) 的通解。 由性质1 以及通解的概念立即可以得知该定理成立。 常数变易法常数变易法 常数变易法常数变易法 则有 令 以下推导的前提以下推导的前提 于是 对上式两边关于 x 求导，得 这两部分 为零。 即 联立 (3)、(4) 构成方程组 解此方程组，再积分，并取积分常数为零，即可得到 例6 解该方程所对应的齐方程为 它就是我们刚刚讲过的例题，由刘维尔公式得其通解为 由常数变易法，解方程组 两边积分，取积分常数为零，得 两边积分，取积分常数为零，得 故原方程有一特解 从而，原方程的通解为 在这一节中所讲述的理论均可推广到 n 阶线性微分方程中去。 参考书： 北京大学、复旦大学、中山