M13n第十三章其它模型.ppt

第十三章 其它模型 13.1 废水的生物处理 13.2 红绿灯下的交通流 13.3 鲑鱼数量的周期变化 13.4 价格指数 13.5 设备检查方案 13.1 废水的生物处理 废水处理 (去掉有害的有机物) 通常 有生物化学与物理化学两种方法. 背景与问题 生物处理 利用微生物(主要是细菌)的生命活动过 程, 把废水中的有机物转化为简单的无机物. 已知废水中有害物质浓度为10-310-2g/m3, 要将浓度降 至510-4g/m3以下, 需建立废水与微生物混合的处理池. 设废水将以10m3/h的流量进入处理池, 确定处理池的 容积, 使排出废水中有害物质的浓度达到规定的标准. 模型假设 生物化学提供了有机物分解、转化和 微生物增殖、衰亡的规律及相关参数 2. 微生物依于有害物质分解、转化的能量而增殖的速 率与有害物质浓度成正比，比例系数r2=1.26m3/g . h 4. 处理池内有害物质和微生物任何时候都均匀混合 ,排出废水中有害物质和微生物的浓度与池内相同. 3. 微生物的自然死亡率为常数 d=10-5/h 1. 有害物质被微生物分解、转化而消失的速率与微生 物浓度成正比，比例系数r1=0.1m3/g . h c(t) 时刻 t 有害物质的浓度 b(t) 时刻 t 微生物的浓度 模型假设 生物化学提供了有机物分解、转化和 微生物增殖、衰亡的规律及相关参数 6. 进入处理池的废水中有害物质浓度为c0, c01c0c02, c01= 10-3g/m3, c02= 10-2g/m3, c0可以改变, 最坏情况是c0 由c01突然增加到c02 7. 环境保护法规定的废水中有害物质浓度为c*=510-4 g/m3, 它是长期稳定排放的标准, 如果是短期排放并超 标不大, 可以用处罚等方法解决. 5. 忽略蒸发等因素, 废水进入处理池和排出处理池的 流量均为常数Q=10m3/h; 废水满池, 池的容积为V 单池模型建立一个处理池 (t, t+t) 内池内有害物质的平衡 改变量 = 进入量 排出量 分解转化量 c(t) 有害物质浓度b(t) 微生物的浓度 V池的容积 (t, t+t) 内池内微生物的平衡 Q流量 非线性方程组无解析解 单池模型的稳态状况 平衡点 用微分方程稳定性理论可以验证: 微生物的增殖率大于死亡和排除率 当 时P1稳定, P2不稳定 单池模型的稳态状况 c01c0c02 Q=10m3/hr2=1.26m3/g . hd=10-5/h c0=c01= 10-3g/m3V8103 m3 V1.6104 m3c0=c*= 510-4 g/m3 V c0 平衡点P1稳定条件 为使稳定状况下有害物质浓度达到规定标准c*, 处理池的容积至少需要达到1.6104 m3. 一个长宽各100 m, 深1.6m的池子! 考察最坏情况 取稳定平衡点P1为初值, 即 单池模型的动态过程 当c0=c01时池内浓度已处于稳态, c0突然增加到c02 设V=1.6104 m3 和 3104 m3, 用数值方法解微分方程组: 有害物质浓度将有约1300 小时超过2c*, 最高达到5c* 单池模型的动态过程 V=1.6104m3 c(10-3g/m3) t(h) V=3104m3 c( 10-3g/m3) t(h) 有害物质浓度将有约900 小时超过2c*, 最高达到3c* 1300 2c* 要达到规定的标准需要太大的池子! 长宽各100 m, 深3m的池子 两个串接的池子双池模型 V1, c1, b1 Q, c0 V2, c2, b2 Q, c1, b1池 池 与单池模型相同(只是加上下标1) 增加从池的流入量 池方程 的平衡点 双池模型的稳态状况 当 时P1稳定c0=c01, V18103 m3 池方程 的平衡点 要求稳态下 双池模型的稳态状况 在c0=c01, V18103 m3下取值计值计 算c1, b1, V2 V1(103m3)c1(10-3g/m3)b1(10-3g/m3)V2(103m3) 81.000.0216.03 100.802.509.63 120.674.145.39 140.575.312.37 160.506.180.10 应选择较大的V1和较小的V2相配合的方案 双池模型的动态过程 仍考察c0由c01突然增加到c02的最坏情况 V1=1.4104m3,V2=7103 m3 c2 (10-3g/m3)c2 (10-3g/m3) V1=1.4104m3,V2=2.5104 m3 有害物质浓度约1200小时 超过c*, 很短时间超过2c* 要使有害物质浓度完全 不超过c*, 需要V2太大 双池模型与单池模型的比较 有害物质浓度约1200小时 超过c*, 很短时间超过2c* 有害物质浓度约900小时 超过2c*, 最高达到3c* 双池总容积比单池减少近1/3, 处理效果好得多 虽然有超标, 但这是最坏情况, 可按处罚等方法解决 V1=1.4104m3,V2=7103 m3 c2 (10-3g/m3) 双池 V=3104m3 c( 10-3g/m3) t(h) 单池 V1+V2=2.1104m3 13.2 红绿灯下的交通流 背景与对象 公路上行驶的一辆接一辆的汽车队伍. 将车队类比作连续的流体, 称为交通流(车流). 描述、分析每一时刻通过公路上每一点的交通流 的流量、速度、密度之间的关系. 研究出现红绿灯改变（可以看作交通事故的发生 和排除）时交通流的变化过程. 交通流的基本函数 对象 无穷长公路上单向行驶的一条车流，不许超车, 公路上没有岔路(汽车不会从其他道路进入或驶出). x o 0 车流方向 流量q(x,t) 时刻 t 单位时间内通过点 x 的车辆数. 密度(x,t) 时刻 t 点 x 处单位长度内的车辆数. 速度u(x,t) 时刻 t 通过点 x 的车流速度. 基本关系：q(x,t)= u(x,t)(x,t) 单位时间内通过的车辆数等于车流速度(单位时间行驶 的距离)乘以单位长度内的车辆数. 交通流的基本函数 基本关系：q(x,t)= u(x,t)(x,t) 流量q(x,t)密度(x,t)速度u(x,t) qm q 0 * m 速度u随着密度的增加而减少, 设u是的线性函数, 平衡状态(所有车辆速度相同, 公路各处密度相同) 下u, 和 q 的关系. =*=m/2 , q=qm (最大值) =0, u= um(最大值); =m(最大值), u= 0. 连续交通流方程流量q(x,t)密度(x,t)速度u(x,t) a b q(a,t) q(b,t) x (x,t) 区间a,b 的任意性 关于q(x,t), (x,t), u(x,t) 的 连续、可微、解析性假设 积分形式 微分形式 连续交通流方程流量q(x,t)密度(x,t)速度u(x,t) 已知q=q() 已知初始密度 f(x) 一阶拟线性偏微分方程用特征方程和首次积分法求解 0 t x x0 斜率k=1/ (f(x0)x(t)是一族直线 特征线 特征线的斜率随x0变化 沿每条特征线x(t), (x,t)是常数f(x0) 连续交通流方程 讨论q(), f(x)给定后解(x,t)的性质 m * 0 12 * = m/2 , (* )=0, k t(x)的斜率k=1/ (f(x0) 特征线 10, k0 2* , (2 )0 2*, k0处的车辆继续行驶, x0处车辆继续行驶, 出现空闲路段=0 x m 0 0 0usl=um0 /m 0, 绿灯亮 x m 0 0 t xsr xxlx1x2 x1(t)堵塞车队最前车辆的位置 x2(t)堵塞车队最后车辆的位置 初始密度(设t= t-=0) 确定x1(t), x2(t) 红绿灯模型4. t, 绿灯亮 x m 0 0 t xsr xxlx1x2 初始密度 0tu , xsl(t), xsr(t)继续移动红绿灯模型 0 (t充分大 ) xsl由向左变 为向右移动 m 0 0 ttu xsr xxl x 8. t=t* , x=0处交通恢复红绿灯模型 0 =0 t=t* xsr xxl x 当xsl移动至x=0时, x=0处交通恢复 越小, 0/m越小, 则t*越小, x=0处交通恢复越快. 设=5min, 0/m=3/8, 则t*=80min 5分钟的堵塞, 过75分钟后x=0处交通才能恢复. 9. tt* , xsl(t), xsr(t)继续向右移动红绿灯模型 0 0 tt* xsrxxl x xsl, xsr处的跳跃值越来越小. 理论上, t全线交通才能 恢复到初始状态=0 以上假定初始密度0 *= m/2 拥挤流, 得到的 结果与稀疏流不同, 但分析方法一样(习题3). 红绿灯下的交通流 将离散车流类比作连续流体 类比是建模的基本 方法之一. 引入流量、密度、速度函数, 并按照守恒关系建立 交通流模型(积分形式和微分形式). 用特征线法解连续交通流模型. 利用跳跃值研究间断线发展过程, 研究红绿灯模型. 13.3 鲑鱼数量的周期变化 背景与问题 海洋中鱼的数量按繁殖期呈周期变化. 鲑鱼生长、繁殖过程： 成年鱼产卵 产卵前鲑鱼的数量按一定规律呈周期变化 既在离散的时间点上描述成年鲑鱼数量的周期变化，又 在连续的繁殖期内描述从卵、幼鱼到成年鱼的演变过程 . 将描述连续变化的微分方程嵌入描述离散变化的差分方程 . 卵变成幼鱼幼鱼长大 产卵后死去 被成年鱼吃掉、被环境淘汰 模型假设 xn第n繁殖期(周期)初成年鲑鱼的数量( n =0,1,2, ) y(t)每个周期内t时刻幼鱼的数量 tb . ta . n . n+1 . 1. y(ta) 与xn 成正比，比例系数为一条鱼的产卵量. 3. 单位时间内y(t) 减少的比例与xn 成正比，比例系数 反映鲑鱼吞食幼鱼的能力. 2. xn+1 与y(tb)成正比，比例系数表示繁殖期末幼鱼 成长为成年鱼的比例. 允许数量出现突变 t . 模型建立 y(ta) 与xn 成正比 单位时间内y(t) 减少 的比例与xn 成正比 xn+1 与y(tb)成正比 t . tb . ta . n . n+1 . t . 无解析解, 寻求数值解 模型建立 一条鱼的产卵量, 设=105 g 繁殖期末幼鱼成长为成年鱼的比例, 设=0.5, 1.1, 1.5 (10-4)a= = 5, 11, 15 设x0=1(数量单位), 且吞食90%的幼鱼, 即y(tb)/ y(ta)=0.1 b=2.3 a的大小反映鲑鱼从一个周期到下一周期的增长 模型建立 a=5, 11, 15, b=2.3 na=5a=11a=15na=5a=11a=15 0111 10.50001.10001.5000270.69901.72601.9730 20.79060.96110.7115280.69900.35680.3147 30.64021.15602.0740290.69901.72602.2870 40.73290.88760.2625300.69900.35690.1771 170.69891.72402.2720370.69901.72602.1860 180.69900.35810.1821380.69900.35680.2137 190.69891.72701.7960390.69901.72601.9600 200.69900.35620.4308400.69900.35680.3225 a=5, xn0.6990, a=11, xn1.7260, 0.3568, a=15, xn? 平衡点与稳定性 研究a的大小对鲑鱼数量xn变化规律的影响 平衡点 x*: 平衡点 x*稳定条件: 当 时x*稳定 数值解中a=5, b=2.3, x*=ln5/2.3=0.699稳定 数值解中 a=11, 15 (e2), x*不稳定 考察倍周期收敛条件 平衡点与稳定性 变量代换(无量纲化) 2, z*=1不稳定 平衡点 x*=lna/b z*=1,稳定条件 a2, 讨论倍周期收敛 平衡点 : z1*, z2* (及z*=1) z1*, z2* 是方程 的两个根 z1*=0.3427 z2*=1.6573 平衡点与稳定性 平衡点 z1*=0.3427, z2*=1.6573 稳定的条件: x1*=0.3569 x2*=1.7259 a=11, b=2.3 研究zn的2k倍周期收敛 (k=2,3) zn的变化趋势出现混沌现象 鲑鱼数量的周期变化 首先将各个短周期内性质相同的连续变化规律用同 一微分方程描述；然后将微分方程嵌入到长期的、 描述离散变化规律的差分方程中 嵌入式模型. 嵌入式模型的应用 生物的周期性繁殖 再生资源的周期性收获 人体对周期性注入药物的反应 周期性排污的环境变化 平衡点的稳定性分析 倍周期收敛和混沌现象 13.4 价格指数 问 题 价格指数是消费品价格变化的度量. 几百年来，经济学家们提出了许多种价格指数. 如何评价这些价格指数的合理性？ 从种、种商品的价格指数谈起 对一种给定商品，原价p0, 现价p, 价格变化 I=p/p0 对两种给定商品，原价p01, p02, 现价p1, p2, 价格变化 不合理: 人们对大米涨价比钢琴降价更为关切加权! 问题的一般提法 基年(基准年) 现年(考察年) 各种价格指数 I(p,q|p0,q0)哪个更合理？ 价格 权重 n 种代表性消费品 ai 0 1. 价格单调性：一种商品涨价，其他不降，则I应上升 价格指数的公理化 p, q, p0,q00, I(p,q|p0,q0)0 2. 权重不变性：所有商品价格不变，则I应不变 3. 价格齐次性：所有商品涨价k倍，则I应上升k倍 4. I应位于单种商品价格比值的最小、最大值之间 5. 货币单位独立性：I应与货币单位的选取无关 价格指数的公理化 p, q, p0,q00, I(p,q|p0,q0)0 6. 计量单位独立性： I应与商品计量单位的选取无关 7. 两年的价格指数之比与基年选取无关 8. 价格指数不因某种商品被淘汰失去意义 I1, I2, I5不满足公理7 该定理没有涉及公理1,4,5, 为什么? Eichhorn 证明了 定理: 不存在同时满足公理2,3,6,7,8的价格指数. I6, I7, I8不满足公理8 I3不满足公理2I4不满足公理6 I满足公理1,2,3 I满足公理4 I满足公理2,3,7 I满足公理5 目前常用的价格指数: I1, I2 I1, I2满足除公理7外的所有公理，且计算简单. 价格指数的公理化 定理 不存在同时满足公理2,3,6,7,8的价格指数 证明思路: 满足2,3,6,7,8的价格指数I必不满足公理8 记e=(1,1,1)T, C=Diagc1,c2,cn, ci0 D=Diagd1,d2,dn, di0 (* ) 证明 证明 记i=Diag1,1 (第i位置元素 0，其余为1) (*) (*) 定理 不存在同时满足公理2,3,6,7,8的价格指数 与公理矛盾！ 当0时,s0 存在某个i, 当0时 证毕 证明 定理 不存在同时满足公理2,3,6,7,8的价格指数 13.5 设备检查方案 背景 与 问题 设备检查的目的: 及时发现和排除故障, 保证生产的顺利进行. 确定设备检查方案-检查周期 (接连 两次检查的时间间隔). 一旦出现故障, 设备将带故障运行到下次检查时 才能发现, 给生产造成损失. 检查周期越长, 故障造成的损失费用越大. 检查周期越短, 用于设备检查的费用越大. 存在最佳检查周期使总费用(损失费、检查费)最小. 背景与问题 设备出现故障的时刻是随机的， 服从一定的 连续型概率分布. 检查周期不一定是常数，故障概率大时周期 短，故障概率小时周期长. 将检查周期表示为时刻t的连续函数s(t) 单位时间内的检查次数表示为 n(t)=1/s(t) 与设备正常运行时间相比，s(t)很小，n(t)很大， 于是n(t)可视为t的连续函数. 模型假设 1. 设备故障时刻的概率分布函数是F(t)，概率 密度函数是f(t)，设备使用期限是T，F(T)=1. 2. 设备带故障运行到下次检查时为止的损失费与 这段允许时间长度成正比，单位时间损失费c1 . 3. 相邻