ch1-4极限的运算法则.ppt

参考书(Reference): Thomas Calculus 美国微积分教材精粹选编 高等教育出版社 第四节 极限的运算法则 1.4 The Laws of Operations on Limits 本节通过无穷小的运算性质来讨论极限的运算法则. 主要内容 本节要点 一、无穷小与无穷大的概念 二、极限的四则运算和复合运算法则 一、无穷小与无穷大 1. 无穷小 Infinitesimal 注 无穷小是一个以0为极限的变量，任何非零常数， 即便它非常小，也不是无穷小. 定义 如果 时函数 的极限为 零，那么 就叫做 时的无穷小. 引理 在自变量的同一变化过程中，函数 有极限 的充分必要条件是 其中 是无 穷小. 定理1 有限个无穷小之和是无穷小； 有界函数与无穷小之积是无穷小. 证 设 是 的无穷小，今证 是无穷小. 因 当 时，有 当 时，有 取 当 时有 所以 设 是 的无穷小， 是有界量，即 当 时有 又因 是无穷小，所以， 取 当 ，有 即 推论 常数与无穷小之积是无穷小； 有限个无穷小之积是无穷小. Ex1. Find the limit 解 因 ， 故由定理1得 下图是函数的图形，从图中可以看出，当 时， 对应的函数值虽然交替地取正负值，但是却无限接近于0. 2.无穷大 Infinity 如果对任意给定的正数 总存在正数 （或正数 ）， 使得对定义域中的满足 （或 ）时， 对应的函数值 满足不等式 则称 为 时的无穷大，记为 （则称 为 时的无穷大，记为 如果当 时，对应的函数的绝对值 则称 为 时的无穷大. 即 例如 ， ， 则称 为 时的无穷大. 则称 为 时的无穷大. 例如 ， ， 注意，记号 并不是表示极限 存在，而是表示函数当 时函数有确定的变化趋势（变化到无穷大）. 如果 ，表示曲线 有垂直 的渐近线 . 例如： x y o 解 若取 则 故 不是无穷大。 例2 试说明函数 在 时不是无穷大. 3.无穷小与无穷大的关系 定理 在自变量同一过程中， 若 是无穷大，则 是无穷小； 若 是非零无穷小，则 是无穷大. 小结：函数变化趋势的几种情形： 二、极限的运算法则 定理2 设 为了便于表述，我们用记号 表示自变量 等变化过程. 若 则有 证 因 由引理得 其中 是无穷小，则 由定理1，知 为无穷小，且 仅证明（1）与（2） 由定理1知，变量 为无穷小，故 更一般，若 则 推论 若 是常数，则 函数叫做函数 的线性组合. Ex3. Find the following limits. 解 所以 （2）因根据极限运算法则， （1） （2） （3） 一般的，若多项式 则 （3）因为 所以 若 且 则 形如（1）式的函数称为有理函数. 若 则 若 则 不确定. 极限 ，如果 并且 ， 那么这种极限称为 型未定式. 之所以称它未定式 这种极限可能是有限数, 也可能不存在. 例如 分子和分母的极限均为0，且分子和分母均是多项式， 故必有公因子 故消去公因子求极限： Ex4. Evaluate the limit 解 分子分母均除以 x3, 得 当 时，如何求 ？ Ex5. Evaluate the limit 解 分子分母均除以 ，得 Ex6. Evaluate the limit 解 考虑极限： 同例5，得该极限为0，故原式的极限 对上面几个例子的分析，得到： 当 时有理函数 的极限: 定理3 (复合函数的极限运算法则) 设 及 ，且在点 的 某去心邻域内 则复合函数 当 时的极限存在，且 例如 求极限 解 令 满足定理的条件，由此得到 Ex7. Find the limit 解 方法 对 型的无理分式，可采用分子或分母有理化 消去公因子后求极限. Ex8. Find the limit 解 采用分子、分母有理化的方法， Ex9. Find the limit 解 总结 1. 什么是无穷小和无穷大？记住一些常见的无穷小和无穷 大的例子。