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15 多元复合函数的导数 一、链式法则 则复合函数 z = f ( u(x), v(x)在点 x 处 可导. 且 (公式也称为 链式法则) 证: 设 u = u(x), v = v(x) 在点 x 处可导. 而 z = f (u, v)在 x 对应的点(u, v)可微. 只要证 定理定理1 1 又因 z 是 u, v 的函数, 进而得到z. 因 z = f (u, v)在 (u, v)可微. 给 x 以改变量x, 因u, v 是x的函数, 可 得u, v 的改变量u, v. 同除以 x 0, 得 令 x 0, 得 从而 = 0 故 注意到当 x 0时, u , v 趋于0. 无穷小乘有界量 用同样的方法, 可将该公式推广到中间变量 为3个, 4个, 等情形. 比如, 设 z = f (u, v, w), u = u(x), v = v(x), w = w(x), 满足定理条件. 则 例1. 设 z = tg(u + v), u = x2, v = lnx, 解: (1) z = tg (x2 +lnx) (2) z = sec2(x2+lnx) 若u, v是 x, y 的二元函数, u = u(x, y), v = v(x, y ), 此时z = f (u, v) = f (u(x, y), v(x, y)是x, y的二元函数. 如何求 z 对x, y 的偏导数? 由上述公式. 有 1,若 z = f (u, v) , u = u(x, y), v = v(x, y)满足定 理条件. 则复合函数 z = f (u(x, y), v(x, y)的偏导数为 (只须将定理1中导数符号改为偏导符号) 2, 公式 1可推广到中间变量多于2个的情形. 如, 设 z = f (u, v, w), u = u(x, y), v = v(x, y), w = w(x, y), 则 3 若在 2中,u = u(x, y, t), v = v(x, y, t), w = w(x, y, t). 问 例2. 解: (1)可将u, v代入后直接求偏导. (2)用链式法则 (两个中间变量) 故 例3. 解: 此例与上两例有区别. 这里函数 f 的表达 式未给出, 只能用链式法则求偏导. 引进中间变量( 引进几个中间变量? ) 记 u = x2 y2, v = xy. 从而 z = f (u, v), 由链式法则, 得 z = f (u, v), u = x2 y2, v = xy. 记 等等. 引进记号, 设 z = f (u, v), 例4. 解: 引进3个中间变量. 记 u = x, v = xy, w = x+y. 则 z = f (u, v, w). 有 1. 在这一类问题中为何引进中间变量? 注 从而 这是否对? 为什么? 对 u (也就是 x)求偏导. 两者不同. 例. 设 z = f (x, xy) = x + xy, 记 u = x, v = xy, 有 z = u + v . 3. 若 z = f (u, v) ,u = u (x, y), v = v (x, y), 则 z 通过 u, v 成为 x, y 的二元复合函数. 从而是 x, y 的二元复合函数. 例5. 证: 从而 = x 例6. 若f (x, y, z) 恒满足关系式 f (tx, ty, tz) = tk f (x, y, z). 则称它为 k 次 齐次函数. 证明 k 次齐次函数满 足 证: 等式 f (tx, ty, tz) = tk f (x, y, z). 两边对 t 求偏导. 右边对 t 求偏导 即 记 u = tx, v = ty, w = tz, 则 f (tx, ty, tz) = f (u, v, w). 即 同乘以 t, 得 例7. 设 z =f (u, v), f C1, 而 u = xcosy, v = x siny. 解: 这是关于链式公式的逆问题. 链式公式 代入链式公式, 得, 系数行列式 = x 0 从而 为未知量的二元一次方程组. 常可通过 解线性方程组的方法求 1.本例说明二元复合函数的链式公式可看作以 注 2.对本例而言, 若还要求出 z 的函数表达式 , 如何求? 3.设 z =f (x, y), 则在区域 D 内 z = C (常数). (自证) 4.若 z = f (u, v), u = u (x, y), v = v (x, y), x = x (r, ), y = y (r, ) . 易见z 是 r, 的复合函数.因此 又因u, v 都是 r, 的复合函数. 因此 设 z = f (u, v)可微, 当 u, v 为自变量时, 有 若 u, v 不是自变量, 而是中间变量, 是 否仍有这一形式? 设 u = u (x, y), v = v (x, y)均可微, 则 z = f (u (x, y), v (x, y), 二、全微分的形式不变性 由链式法则, 代入, z = f (u (x, y), v (x, y) 即, 不论u, v是自变量还是中间变量, z = f (u, v)的全微分的形式不变. 例8. 用全微分形式不变性求 解: 记 u = xy ,从而 z = f (u, v). 从而 16 隐函数的导数 上期已讨论了求隐函数的导数问题.即, 设方程 F(x, y) = 0. 求由该方程所确定的函 数 y = f (x)的导数.方法是: 方程两边对 x 求 导. 注意 y 是 x 的函数, 然后解出 y . (1)是否任何一个二元方程 F(x, y) = 0. 都 确定了y 是 x 的函数(单值)? 如 x2 + y2 = 1. 什么条件下确定 y = f (x)? (2)若方程确定y = f (x). 它是否可导? 给出一般的求导公式. (3)三元(以上)方程F(x, y, z) = 0. 的情形怎样? 留下了问题. 设函数F(x, y) 在点 X0 = (x0, y0)的邻域U(X0) 内有连续偏导数. 考虑方程F(x, y) = 0. 且F (x0, y0) = 0, 则方程 F(x, y) = 0在点 X0 = (x0, y0)的某邻域内唯 一确定一个有连续导数的(单值)函数 y = f (x), 它满足 y0 = f (x0). 且 证略 一、一个方程的情形 (隐函数存在定理). 定理1 对公式的推导作些说明. 设方程 F(x, y) = 0中F(x, y)满足定理条件. 从而方程在 X0 的某邻域内确定函数 y = f (x). 代入方程, 得 F(x, f (x) 0. 上式两边对 x 求导(左端是 x 的复合函数). 得 例1. 验证方程 x2 + y2 1= 0在点 X0= (0, 1)的某邻 域内满足定理1的三个条件. 从而在X0= (0, 1) 的某邻域内唯一确定满足. 当x = 0时, y = 1 的连续可导函数 y = f (x), 解: 记 F (x, y) = x2 + y2 1 (1) (2) F (0, 1) = 0, (3) 由定理1知, 方程在X0= (0, 1)的某邻域内唯一 确定满足当x = 0时, y = 1的连续可导函数 y = f (x), 0 x y X0 x2 + y2 =1 1 1 X1 法1. x2 + y2 = 1 两边对 x 求导, y 是 x 的函数, 2x+2y y = 0 法2. F (x, y) = x2 + y2 1 定理1 可推广到方程中有多个变量的情形. 考虑方程 F(x, y, z) = 0 设三元函数 F(x, y, z) 在 X0=(x0, y0, z0)的邻 域 U(X0)内有连续编导，F(x0, y0, z0)=0, Fz(x0, y0, z0)0, 则在 X0 的某邻域内唯一确定一个有连续偏 导的函数 z = f (x, y), 满足 z0=f (x0, y0), 且 定理1 例2. 解：方法1. 记 F(x, y, z) = sin(x3z) 2y z 有 Fx = cos(x 3z), 故 Fy = 2, Fz = 3cos(x 3z) 1 方法2： sin(x3z) =2y +z 两边对 x 求偏导，z 是 x 的函数，y看作常数. 解得: 类似得 例3. 设方程F(x2+y2+z2, sinxy)=0, FC1, 求 解：方法1.(公式法): 方程左边是x, y, z的复合函数 ， 用链式法则求Fx , Fy , Fz . Fx = F 12x+F 2 cosxy y = 2xF 1+ ycosxy F 2 从而 Fy = F 12y+F 2 cosxy x = 2yF 1+ xcosxy F 2 Fz = F 12z+F 2 0 = 2zF 1 方法2.方程 F(x2+y2+z2, sinxy)=0两边对 x 求偏导. 其中 z 是 x 的函数, y看作常量. F 1 (2x+2z zx ) + F2 cosxy y = 0 解得: 例4. 设 z = z(x, y) 是由方程 x+y+z= (x2+y2+z2)所确 定的函数, 其中 C1，证明 z = z(x, y) 满足 证：记 F (x, y, z) = x+y+z (x2+y2+z2), u = x2+y2+z2, 有 F x = 1 u 2x = 1 2x u F y = 12y u , F z = 12z u 故 从而 设有方程组 F(x, y, u, v) = 0 G(x, y, u, v) = 0 四个未知量， 两个方程 若将 x, y 看作常数,则方程组成为两个未知 量,两个方程情形. 如果能从中解出u, v,从而这个方程组确定了 两个二元函数 u = u(x, y), v = v(x, y)，称为由该 方程组所确定的二元隐函数. 二、方组的情形 (1)当F, G满足什么条件时，方程组确定了 隐函数 u, v? (2)为何求隐函数u=u(x, y), v=v(x, y)的偏导 ？ 问题 记号：用 即 u u v v 称为函数F, G关于 u, v的雅可比行列式. 方程组 G(x, y, u, v)=0 F(x, y, u, v)=0 (1) 设X0=(x0, y0, u0, v0)R4, 若 1) F(x, y, u, v), G(x, y, u, v)在U(X0)有连续偏导 2) F(x0, y0, u0, v0)=G(x0, y0, u0, v0)=0 3) 雅可比行列式 则方程组(1)唯一确定两个二元函数 u = u(x, y)，v = v(x, y)， 满足 u0 = u(x0, y0)，v0= v(x0, y0). 且 定理2 证：(略) 公式推导说明： 设F, G满足定理2条件，从而存在隐函数 u=u(x, y), v= v(x, y),代入方程组(1) F(x, y, u(x, y), v(x, y)0 G(x, y, u(x, y), v(x, y)0 方程两边对 x 求编导，得 F x + F u + F v = 0 G x + G u + G v = 0 看作未知量，解二元线性方程组. 由克莱姆法