ch4-3复合函数的求导法则及应用.ppt

Ch4.3Ch4.3 复合函数的求导法则及应用复合函数的求导法则及应用 一、复合函数的求导法则 四、由极坐标方程确定的函数的导数 二、隐函数的导数 三、由参数方程确定的函数的导数 将求导公式化！将求导公式化！ 一、复合函数的求导法则 定理(链式法则) 即 因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量 求导，乘以中间变量对自变量求导. 1. 复合函数求导的链式法则 证 * 注 2) 多层复合的情形 例1 求下列函数的导数 解 1. 在求复合函数导数时关键是搞清复合结构, 然后如同锁链一样,需由表及里一层一层地 求导,一直求到最里面,不能漏掉任何一层, 否则导致错误. 注 2. 熟练掌握后应省去中间变量而直接写出求 导结果. 例2 计算导数 解 例3 解 (1)导数运算的基本法则 2. 初等函数的求导问题 (2) 基本初等函数的导数公式 至此, 初等函数的求导问题均可以解决. 例4 即 解 例5 解 解 例6 注 后面还可用隐函数求导法来计算. 例7 注 1.从本例可见虽然求导可以有很多种方法， 但显然把 f(x) 先予以恒等变换成简单函数后 再求导能简捷得多. 2.在求导问题中常用的恒等变形，所以在具 体做题时题时 ，一定要先把求导导的函数审视审视 一 遍予以简简化，这这比盲目代公式做题题要方便. 3.在很多问题中恒等变形是有益的，应对 其有足够的重视. 二、隐函数的导数 显化 1. 显函数和隐函数 2. 隐函数求导的方法 （利用复合函数的求导法则） 例8 利用隐函数求导法，求下列函数的导数 解 解 注 例9 解 即 例9 另解 观察函数 方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. -对数求导法 结构特点(适用范围): 3. 对数求导法 例10 解等式两边先取绝对值再取对数得 例11 解等式两边取对数得 三、由参数方程确定的函数的导数 引例 斜上抛物体运动 前者物理意义清楚，后者几何意思明显，各有利弊. 若参数方程 确定x与y间的函数关系, 则称此函数y=y(x)(或x=x(y)为参数方程所确 定的函数 。 例如 消去参数 问题: 消参困难或无法消参如何求导? 由复合函数及反函数的求导法则得 例12 解 例13 解 四、由极坐标方程确定的函数的导数 （1）极坐标系 O x （2）极坐标 M （3）极坐标与直角坐标的互化 （4）曲线的极坐标方程 解： 极坐标方程确定的函数的导数 例14 导数的构造性定义运算法则 (四则/反函数/复合) 其它的基本初等函 数的求导公式 所有初 等函数( 显式)的 求导问 题 1.初等函数的求导问题 求导法则小结 3)各法则使用时均需注意使用条件. 2)必须熟记基本导数公式(注意公式的特点). 注：1)求导运算是分析中最基本最重要的计算, 是全书的重点,而复合函数的求导是其中的难点 . 4)复合求导的关键在于正确分解复合结构. 2.其他形式的初等函数的求导问题 1)隐函数的导数 2)某些特殊的显函数对数求导法 3)由参数方程确定的函数的导数 4)由极坐标方程确定的函数的导数 (直接对方程两边求导) (实质上是利用复合函数求导法则 ) (利用直角坐标与