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3 . 幂级数 一、函数项级数的概念 定义 ： 简称 (函数项) 级数 。 称为数集 D (或区间 I )上的函数项无穷级数 ， 函数项级数可看成是一族常数项级数， 从而可用数项级数的有关方法来研究函数项 级数。 收敛点全体称为它的收敛域。 发散点全体称为它的发散域。 对于 中的每一点，不是收敛点就是 发散点。 对收敛域内任意一点 x ，函数项级数为 一收敛的常数项级数， 有一确定的和 S, 且与 x 有关。 收敛域上函数项级数的和就是 x 的函数 ， 记为 S(x) , 称为函数项级数的和函数， 其定义域就是 （注意，与一般项 un(x) 的定义域不同） 同样， 例1. 解： 的收敛域为 (-1,1) 。 例2. 解 ： 由例1 , 例3. 在 0, 1 的和函数。 解： （非 un ） 1 un(x) 在 0, 1 上连续， 但 S(x) 在x = 1处间断， S(x)的定义域小于级数的定义域 , 级数的收敛域一般小于或等于其定义域。 二. 幂级数及其收敛性 定义： 的级数称为幂级数。 其中常数 称为幂级数的系数, 形如 显然，幂级数的定义域为 显然是幂级数的收敛点。 幂级数是函数项级数中最常见且简单的一种， 定理1 （阿贝尔定理） 其收敛域如何？ 证明： 反证 ： 若有一点 x1 , 适合 并使 (*) 收敛, 则由 (1) 知, 矛盾！ 即幂级数的收敛点与发散点不可能互相混杂。 (1) 收敛半径, 记为 R . (2) 在收敛与发散点之间的分界点: 上, 幂级数可能收敛也可能发散， 推论：( P. 209 ) 也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个 完全确定的正数 R 存在，使得： 则 R = 0 , 收敛区间, 收敛域。 若： 证明：考察正项级数： 由比值法： 例题讨论 求解下列幂级数的 收敛半径， 解： 由定理 2： 收敛区间 与 收敛域。 例 ： 解： (-5, 5) 解 ： ( 用根值法 ) 解一：用比值法 解二: 解： = R, 解： 用比值法： 课外作业 习题 6 4 1（1 , 3, 5, 6, 7） 三. 幂级数的运算 1）加减法 1. 代数运算 2) 乘法 3) 除法 2 . 分析运算 性质1. 幂级数的和函数 在 其收敛域内连续. 性质2. 幂级数的和函数 在 其收敛域内可导，且有逐项求导公式: （ 反复用上述结论，可知 S(x) 在收敛域 内有任意阶导数） 性质 3. 幂级数的和函数 在其收敛域内可积，且有逐项积分公式： 虽然收敛半径不变，但在端点 处的敛散性可能会改变。 求积后所得幂级数的收敛域不小于 原级数的收敛域。 一般，求导后所得幂级数的收敛域不大于 原级数的收敛域。 例 ： 用逐项求导或逐项积分的方法，可求得 一些级数在收敛域内的和函数。 例题讨论 解 ： 不必先求收敛域，在求和函数的过程 求下列幂级数的收敛域与和函数： 中可求得收敛域。 先逐项求导： 先逐项积分： 可见，关键在于求导或积分后 所得的幂级数能写出和函数。 写出和函数时要注意： 0 1 - x 1