Ch5-6随机变量的数字特征.ppt

概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 第五章 随机变量的数字特征 *1皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 一、为什么要引入随机变量的数字特征 1.实际中，有些随机变量的分布不易求。 2.有些实际问题往往对随机变量的分布不感兴趣，只 随机变量的几个特征指标感兴趣。 二、几个常用的特征指标 数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数、矩 Date2皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 第一节 数学期望 *3皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 一、数学期望的引入 例1分赌本问题 甲、乙两个赌徒赌技相同，各出赌注50法朗，每局 无平局，且约定：先赢三局者得到全部赌本100法 朗。当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌 博，问这100法朗的赌本应如何分配才合理？ 分析：假设赌博继续下去，再赌两局必出结果情况如下： 乙胜甲输 甲胜乙输 乙胜甲输 甲胜乙输 甲胜的概率为：. Date4皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 例1分赌本问题 甲、乙两个赌徒赌技相同，各出赌注50法朗，每局 无平局，且约定：先赢三局者得到全部赌本100法 朗。当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌 博，问这100法朗的赌本应如何分配才合理？ 设甲得到的赌本为X，则X的分布为 甲胜的概率为：. 甲应该获得赌本的3/4. 说明：该问题涉及随机变量的分布， 且含有均值的意义. Date5皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 算术平均与加权平均 问题：如果已知离散随机变量X的分布 如何求X的平均取值？ Date6皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 加权平均数的计算： 随机变量的平均值： 概率替换频率 Date7皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 二、数学期望的定义 为随机变量X的数学期望. Date8皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 补充说明： 加权平均数： 离散随机变量期望： 连续随机变量期望： 频率 概率 概率 注：期望是均值的推广或更一般的形式. Date9皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 Date10皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 Date11皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 例4 一批产品中有一、二、三等品、等外品及废品5 种，相应的概率分别为0.7,0.1,0.1, 0.06，0.04， 若其价格分别为6元，5.4元，5元，4元及0元。求产 品的平均价值。 X P Date12皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 三、一维随机变量的函数的数学期望 Date13皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 例5 设随机变量X的分布为 解 ： Date14皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 练习 设随机变量X的分布为 X P Date15皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 Date16皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 Date17皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 数学期望在解决实际问题中有着非常重要的应用 ，见下面的例子. Date18皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 Xi P Date19皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 Date20皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 例10 某公司生产的机器无故障工作时间X有密度函数 公司每售出一台机器可获利1600元，若机器在售出 1.2万小时之内出现故障，则予以更换，这时每台亏 损1200元；若在1.2到2万小时之内出现故障，则予以 维修，由公司负担维修费400元；若在使用2万小时以 上出现故障，则用户自己负责。求该公司售出每台机 器的平均获利。 Date21皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 解决方法：求随机变量函数的数学期望. 关键： Date22皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 则用户自己负责。 公司每售出一台机器可获利1600元，若机器在售出1.2 万小时之内出现故障，则予以更换，每台亏损1200元； 若在1.2到2万小时之内出现故障，则予以维修，由公司 负担维修费400元；若在使用2万小时以上出现故障， Date23皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 Date24皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 四、多维随机变量函数的数学期望 Date25皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 Date26皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 1x 2 y 0 Date27皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 五、数学期望的运算性质 线性性质 Date28皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 Date29皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 条件期望 离散型 Date30皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 第二节 方差与标准差 *31皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 引例1 比较甲、乙两班学生成绩的差异 百百 分分 比比 若把两班成绩看作随机变量的取值，其分布有什么区别？若把两班成绩看作随机变量的取值，其分布有什么区别？ 随机变量取值的分散程度不同，乙班成绩分布较集中。随机变量取值的分散程度不同，乙班成绩分布较集中。 Date32皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 引例2 比较两种型号手表的质量 设甲、乙两种型号的手表的日走时误差分别为设甲、乙两种型号的手表的日走时误差分别为X X、Y Y， 其分布如下其分布如下 哪种手表质量较好？ 注：注：X X、Y Y的期望相同，但误差取值的波动性不同。的期望相同，但误差取值的波动性不同。 对产品质量的稳定性，市场的波动性，投资的风险对产品质量的稳定性，市场的波动性，投资的风险 度量与风险管理等问题的研究，都涉及到对随机变度量与风险管理等问题的研究，都涉及到对随机变 量分布的分散程度的研究，从而引入方差的概念。量分布的分散程度的研究，从而引入方差的概念。 Date33皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 一、方差与标准差的定义 Date34皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 方差的常用计算公式： 方差的定义式： 怎么记住呢？ 平方的期望减去期望的平方 Date35皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 离散型和连续型随机变量的方差计算公式 定义 Date36皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 离散型和连续型随机变量的方差计算公式 常用公式 Date37皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 分布列与方差大小的关系： 结论1：取值分布集中，方差较小；反之方差较大. Date38皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 密度函数与方差大小的关系： 结论2：密度函数图形较陡峭的方差较小； 反之方差较大. Date39皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 例1 计算泊松分布的方差。 解：泊松分布的分布律为 Date40皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 例2 计算均匀分布的方差。 Date41皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 例3 正态分布的方差。 Date42皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 例4 计算指数分布的方差。 Date43皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 二、方差的性质 方差不具备 线性性质. Date44皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 例5 计算二项分布的方差。 二项分布 的可加性 注：直接利用二项分布律和级数的运算也可以求出 二项分布的期望和方差。 Date45皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 注：本例是数理统计常用的一个重要结果，它体 现了平均值的稳定性。 Date46皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 例8 某人有一笔资金，可投入两个项目：房产和商 业，其收益都与市场有关。若把未来市场划分为好、 中、差三个等级，其发生的概率分别是0.2，0.7和0.1 。 通过调查，该投资者认为投资房产的收益X（万元） 和投资商业的收 益Y（万元）的分布分别为 请问：该投资者如何投资为好？ Date47皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 第三节 协方差和相关系数 *48皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 一、协方差 协方差也称为相关中心矩。 联合分布中分量间的关系 Date49皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 Date50皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 协方差的常用性质: 注：以上性质可以利用定义及期望的性质来证明. Date51皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 Date52皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 补充说明： Date53皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 Date54皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 Date55皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 二、相关系数 在表示随机变量的关系时，为了消除量纲的影响， 引入了相关系数的概念。 Date56皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 相关系数的性质： 完全正线性相关完全正线性相关 Y X 完全负线性相关完全负线性相关 Y X Date57皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 补充说明 相关系数相关系数 ( (X X, ,Y Y) )刻画了随机变量刻画了随机变量X X、Y Y间线性相间线性相 关的程度。关的程度。 =1=1时，表示时，表示X X、Y Y几乎处处具有线性几乎处处具有线性 关系；关系； =0=0时，表示时，表示X X、Y Y不具有线性关系，但可以不具有线性关系，但可以 具有其他（如曲线）关系。独立性是指两个随机变具有其他（如曲线）关系。独立性是指两个随机变 量不具有任何关系。对二元正态分布来说，独立性量不具有任何关系。对二元正态分布来说，独立性 与不相关与不相关 =0=0是等价的。是等价的。 与协方差相比较，相关系数是一个不带单位的与协方差相比较，相关系数是一个不带单位的 系数，消除了量纲的影响，可以更准确地反映随机系数，消除了量纲的影响，可以更准确地反映随机 变量间的关系；同时，也方便不同类型随机变量的变量间的关系；同时，也方便不同类型随机变量的 比较。比较。 Date58皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 00.51 1 y y= =x x Date59皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 注：协方差虽然很小，但相关系数却比较大。所以协 方差反映随机变量的相关程度不是很准确的。 Date60皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 作 业 P75-77： 4、9、13、20、23、24 Date61皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 第六章 大数定律与中心极限定理 *62皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的 增多，事件发生的频率逐渐稳定于某个常数。这就充 分说明事件的概率是客观存在的。频率的稳定性，便 是这一客观存在的反映。人们还认识到大量测量值的 算术平均值也具有稳定性。这种稳定性就是本节所要 讨论的大数定律的客观背景。 在概率论中，用来阐明大量平均结果稳定性的一 系列定理统称为大数定律。由大数定律，大量随机因 素的总和，必然导致某种不依赖于个别随机事件的结 果。 Date63皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 一、大数定律 Date64皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 补充说明 Date65皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 2、 切比雪夫大数定律 切比雪夫不等式 注：对于离散型随机变量可以类似证明。 Date66皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 切比雪夫大数定律 Date67皖西学院 经济与管理学院 概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计 3、贝努里大数定律 注：贝努里定理是切比雪夫定理的特例，它从理论上证 明了频率的稳定性。只要试验次数 n 足够大，事件