arc-8859-3-6导数在经济中的应用.ppt

第六节 导数在经济中的应用 一、常用的几个经济函数 二、边际分析 一、常用的几个经济函数 o1.需求函数 o2.供给函数 o3.均衡价格 o4.总成本函数 o5.销售收入函数（总收益函数 ） o6.总利润函数 1.需求函数 需求函数商品的需求量 Qd，受消费者的偏好、 收入及商品价格等因素的影响，但最主要的是 价格因素。若不考其它因素，把需求量Qd只 看成价格 p 的函数，即 Qd = f(p) 则称此函数为需求函数。 需求函数 Qd= f (p) 一般是 p 的递减函数。 最常见、最简单的需求函数是如下形式的线性需 求函数 Qd= f (p) = -ap+ b （a,b为正常数） 这个函数的几何形态，是一条反应需求量与价格 关系的曲线，我们称之为需求曲线，如下图。 特别地，当价格p=0时，需求量Qd=b ，它表示人 们的需求是有限的；b/a为最大销售价格，此时 需求量为零。 当然，价格 p 也可表示成需求量Qd的函数，称 p=g(Qd)为价格函数。 b o p Qd 例1 某产品售价70元/件，可买10000件，价格每 增加3元就少买300件，求需求量 Qd 与价格 p 的 函数。 解 设价格由70元增加 k个3元，则 p=70+3k，Qd =10000300k，从而 k100/3，而k=(p-70)/3，则p170 Qd=17000-100p，p(70, 170) 2.供给函数 生产者对商品的生产是由多方面因素所决定的， 其中价格是最主要的因素。一般地，价格越高 ，就越要加大供应，因此供给量 Qs 是价格 p 的 单增函数。最简单的供给函数是如下形式的线 性函数： Qs=g (p) = cp - d （c,d为正常数） 反应供给量与价格关系的曲线，称之为供给曲线 ，如图。 o p Qs d 显然只有价格不低于 d/c 时，才有供给量 Qs，因为 厂商都不愿作亏本生意。 例2 某商品当价格为50元时， 有50单位投放市场 ， 当价格为75元时，有100单位投放市场，求供 给Qs与价格 p 的函数。 解 设Qs = cp d, 则 Qs = 2p 50 3.均衡价格 均衡价格就是使一种商品的市场需求量Qd与供给量Qs 相等时的价格，即就是使 f(p) = g(p)时的价格，记为 p*。显然此时的市场处于均衡状态。 （1）当市场价格p 均衡价格p*时， Qs Qd ； （2）当市场价格p 均衡价格p*时， Qs Qd 。 因此，市场上商品价格的调节，是按照需求律与供给 律来实现的：若需求量大于供给量，则价格上涨； 反之，价格下跌。所以，市场上商品的价格总是围 绕均衡价格上下浮动。 4.总成本函数 某商品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全 部经济资源的价格或费用总额。 它由固定资本（生产准备费，用于维修、添制设备 等）a元和可变资本（每单位产品消耗原材料、 劳力等费用）b元，则生产x件产品的总成本为 C(x) = a + bx 每件产品的成本（叫单位成本或平均成本）为 5.销售收入函数（总收益函数） 总收益是产量的函数。设某种产品的销售量为 x， 价格为 p，则销售收入函数为 R = p x 而价格 p 又可表为 x 的函数，所以销售收入函数可 看成x 的函数 R(x) = p(x) x 。 6.总利润函数 总利润L(x)是总收入 R(x) 与总成本 C(x) 之差。 设 x 件产品的总成本为 C(x)，销售收入为 R(x)，则 利润为 L(x) = R(x) C (x) 二、边际分析 经济学中，把函数(x)的导函数f(x)称为(x)的边际 函数。f(x0) 称为(x)在x0 处的边际值（或变化率 、变化速度等）。 在经济学中，通常取x =1，就认为x达到很小 （再小无意义），故有 实际问题中，略去“近似”二字，就得(x)在x0 处的 边际值f(x0)。 经济意义: 即当自变量x在x0的基础上再增加一个单 位时, 函数y的改变量。 例3 某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为 每日100件, 假设日产品的总成本C元与日产量 x 件的函数为 C(x)=x2/4+60x+2050 求：(1)日产量75件时的总成本和平均成本； (2)当日产量由75件提高到90件时，总成本的平 均改变量； (3)当日产量为75件时的边际成本。 解 (1)日产量75件时的总成本和平均成本 C(75)=7956.25(元) C(75)/75=106.08(元/件) (2)当日产量由75件提高到90件时，总成本的平 均改变量 (3)当日产量为75件时的边际成本 C(x)=x/2+60 C(75)=97.5（元） 注意：当销售量为x，总利润为L=L(x)时，称L(x)为 销售量为x时的边际利润，它近似等于销售量为x 时再多销售一个单位产品所增加或减少的利润。 例4 某糕点加工厂生产A类糕点的总成本函数和总收 入函数分别是C(x)=100+2x+0.02x2和 R(x)=7x+0.01x2，求边际利润函数和当日产量分 别是200公斤、250公斤和300公斤时的边际利润 ，并说明其经济意义。 解 (1)总利润函数为L(x)=R(x) C(x) =5x-100-0.01x2 边际利润函数为L(x)=5-0.02x (2)当日产量是200公斤、250公斤和300公斤时的边 际利润分别是L(200)=1, L(250)=0, L(300)=-1 其经济意义是：当日产量为 200公斤时，再增