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泰勒级数 函数展成幂级数 小结 一、泰勒级数 上节例题 存在幂级数在其收敛 域内以f(x)为和函数 问题: 1.如果能展开, 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数? 证明 泰勒系数是唯一的, 逐项求导任意次,得 泰勒系数 问题 定义 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定. 定理2 . 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式余项满足: 证明: 令 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有 二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法 由泰勒级数理论可知, 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(R, R) 内是否为 骤如下 : 展开方法 直接展开法 利用泰勒公式 间接展开法 利用已知其级数展开式 0. 的函数展开 例1. 将函数展开成 x 的幂级数. 解: 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 故 ( 在0与x 之间) 故得级数 例2 解 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 例3 解 两边积分 得 即 牛顿二项式展开式 注意: 双阶乘 2.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方 法,求展开式. 例如 例4. 将函数展开成 x 的幂级数 . 解: 因为 把 x 换成, 得 例5 解 三、小结 1.如何求函数的泰勒级数; 2.泰勒级数收敛于函数的条件; 3.函数展开成泰勒级数的方法. P285 习题12-4 2 . (2)(3) 作业 思考与练习 1. 函数 处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰勒级 数” 有何不同 ? 提示: 后者
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