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三、向量及向量运算的坐标表示 一、向量的概念 二、向量的运算 7.4 向量的概念和运算 向量：既有大小又有方向的量. 向量表示： 模长为1的向量. | |向量的模：向量的大小. 单位向量： 一、向量的概念 或 或 零向量：模长为0的向量. 零向量的方向是任意的 向径： 起点在坐标原点的向量 . 自由向量：不考虑起点位置的向量. 可以平行移动. 负向量：大小相等但方向相反的向量. 相等向量： 大小相等且方向相同的向量. 平行向量：方向相同或者相反的两个向量（共线）. 向量共面：设有 k（k）个向量，当把它们的起点 放在同一点时，如果 k 个终点和公共起点 在一个平面上，则称这 k 个向量共面. 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在0与 之间任意取值. 空间两向量的夹角 当 时，称 规定零向量与任意向量垂直. 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. 方向角与方向余弦 非零向量 的方向角： 方向角的余弦称为向量的方向余弦. 方向余弦通常用来表示向量的方向. 加法： （平行四边形法则） 特殊地：若 分为同向和反向 （三角形法则） 二、向量的运算 、向量的加法 向量的加法符合下列运算规律： （1）交换律： （2）结合律： （3） 减法 2、向量的减法 三角不等式 3、向量与数的乘法 按照向量与数的乘积的规定， 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量. 数与向量的乘积符合下列运算规律： （1）结合律： （2）分配律： 两个向量的平行关系 证 充分性显然，下证必要性 . 再证唯一性 两式相减，得 例1 化简 解 例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的 四边形必是平行四边形. 证 与 平行且相等, 结论得证. 例3 试用向量方法证明：空间四边形相邻各边 中点的连线构成平行四边形. 证: 只要证 E F G H 解答 练习 已知平行四边形ABCD的对角线 试用 表示平行四边形四边上 对应的向量. 启示 实例 两向量作这样的运算, 结果是一个数量. 定义 4、两向量的数量积 数量积也称为“点积”、“内积”. 关于数量积的说明： 证 证 数量积符合下列运算规律： （1）交换律： （2）分配律： （3）若 为数： 若 、 为数： 向量在轴上的投影 向量投影的性质 性质1 性质2 性质3 性质4 证 例6 设以向量 和 为边做平行四边形，求平行 四边形中垂直于 边的高线向量. 实例 5、两向量的向量积 定义 向量积也称为“叉积”、“外积”. 关于向量积的说明： / 证 / / 向量积符合下列运算规律： （1）反交换律 （2）分配律： （3）若 为数： 向量积的几何意义 解 (1) 向量混合积的几何意义： 关于混合积的说明： (轮换对称性) 6.向量的混合积 定义 解 例8 横轴 纵轴 竖轴 定点 空间直角坐标系 三、向量及向量运算的坐标表示 1.向量的坐标表示 有序数 x 、y 、z 称为向量 r 的坐标, 2. 向量运算的坐标表示 设 数量积的坐标表达式 数量积的坐标表达式 设 向量积的坐标表达式 向量积的坐标表达式 向量积还可用三阶行列式表示 ( 行列式计算见 附录3 ) 3. 其它坐标表示 当 时， 向量方向余弦的坐标表示式 特殊地：单位向量的方向余弦为 解设为直线上的点， 由题意知： 解 解 三角形ABC的面积为 内容小结 设 1. 向量运算 加减: 数乘: 点积: 叉积: 混合积: 2. 向量关系: 思考与练习 1. 设 计算并求 夹角 的正弦与余弦 . 答案: 2. 用向量方法证明正弦定理: 证: 由三角形面积公式 所以 因 3. 解 备用题