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Chapter5 Experimental Design 第五章 （试验设计） 一、质量改进与试验设计 二、试验设计的基本概念 三、正交试验设计的分析方法 四、正交试验设计的应用 Date 1 质量管理试验设计 一、质量改进与试验设计 “质量没有最好，只有更好”追求质量不断地改进 ；TQM和 的目标； 质量改进的方法(PDCA循环）： （1）确立质量改进的项目； （2）调查可能的原因； （3）确定因果关系； （4）进行预防和纠正； （5）下一轮循环、继续改进。 Date 2 质量管理试验设计 分层图：将大量有关某一特定主题的意见、 观点或 想分类汇总； 因果图：根据症状分析原因、解决问题的方法； 流程图：说明现有的流程、设计新流程； 头脑风暴法：确定问题的解决办法和潜在的质量改 正机会。 3. 质量改进的技术工具 老七种”工具（因果图、流程图、直方图、散点图、 排列图、控制图）被普遍用于质量改进： （1）用于定性资料的方法和技术： Date 3 质量管理试验设计 控制图：控制和调整生产过程的稳定性、诊断过程 不稳定的异常因素、确认某过程的改进； 直方图：显示波动的形态、直观地给出有关过程的 信息、确定在何处进行改进工作； 排列图：按重要性顺序显示出每一项对整个过程的 作用、确定改进的机会； 散布图：发现和显示两组数据间的关系、确定两组 数据间的预期的关系； 试验设计：合理安排试验、获得科学的质量数据。 （2） 用于定量资料的方法和技术： Date 4 质量管理试验设计 4. 作为质量改进工具的试验内容 重复试验 试验顺序随机化 局部控制 试验的设计：明确试验目的是什么、要考察的因素有 哪些及其变动，合理制定试验方岸； 试验的实施：按设计方案进行试验； 试验结果的分析：主要因素、次要因素、最优组合方 案。 5. 试验设计的原则： Date 5 质量管理试验设计 二、试验设计的基本概念 在生产实践中，试制新产品、改进工艺、寻求好 的生产条件等都需要先做试验。而试验要花时间、消 费人力、物力，因此希望做试验的次数尽量少，而得 到的结果尽可能好。 1.正交试验设计的作用和发展背景 实际问题的复杂性，对试验有影响的因素往往是 多方面的，我们要考察各因素对试验的影响情况。 在多因素、多水平的试验中，对每个因素的每个水 平都互相搭配进行全面试验，需要试验的次数就会很多 。 Date 6 质量管理试验设计 2个7水平的因素，如果对每个因素的每个水平都互相 搭配进行试验，要做 次试验，而3个7水平的试验 要做 次，6个7水平要做 次试验。 这么多次试验，要花费人力、物力和时间。 试验的费用很高时、或破坏性试验时，在不影响试验 结果的前提下，怎样尽可能减少试验次数？怎样合理安 排试验、科学地分析试验数据？ 正交试验设计可解决这个问题。 例如： Date 7 质量管理试验设计 正交设计的作用：正交设计是一种安排多因素试验的方 法，这种方法简单、易于应用、省时、经济、效果良好。它 适用于制定新工艺或改良老工艺等需要大量试验的情况 正交设计的背景：试验设计是英国数学家R.A.Fisher在20 世纪为使农业试验合理化而提出的一种用于安排试验和分析 试验数据的数理统计方法。在农业生产中，用试验设计方法 来安排各种肥料及施肥量对农作物产量的影响试验，结果使 农业大幅度增产。随着生产的发展，试验设计的理论和方法 也就随之不断发展。 Date 8 质量管理试验设计 （1）早期的方差分析法； （2）传统的正交设计法； （3）信噪比试验设计法与三阶段设计。 试验设计发展的3个阶段： （1）通过试验，确定影响质量或生产过程的主要原因（ 定量）； （2）选择满足设计质量或产品质量的操作条件。 在质量管理中，使用试验设计主要有： Date 9 质量管理试验设计 2. 试验设计中涉及的基本术语 定量指标直接用数量来表示的指标，如收率、 产量、长度等； 定性指标不能直接用数量来表示，只能凭感觉 或感官 (触、观、尝、嗅等)来评定的指标，如棉花 的手感与颜色、色品的酥、脆、香等。 （1）指标：指试验需要考察的结果。按试验结果的度量， 指标分为： （2）因素：影响试验结果（指标）的原因，A、B、 ，即对指标有可能有影响，并在试验中提出了 明确条件加以对比的原因 Date 10 质量管理试验设计 例如，在化工产品收率试验中，收率为试验的指标，反应 温度、时间、催化剂种类、环境温度、湿度都会对收率产生 影响，为因素。 有些因素可以在试验的过程中人为的加以调节与控制，称 之为可控因素。如反应温度、反应时间、催化剂种类等。 另一类因素是由于自然、技术与设备等条件的限制，暂时 还不能人为调控，称为不可控因素或试验误差。如普通环境 下的温度、湿度。 我们主要研究可控因素。只考虑一个因素的试验是单因素 试验,多于一个因素的试验是多因素试验。 Date 11 质量管理试验设计 例如：温度有550C、600C、800C三状态（水平）； 又如催化剂有甲种、乙种，二水平。 反应温度的三个水平是定量的，而催化剂种类的两个 水平是定性的。 对于定性水平因素，只要给每个水平规定具体的含义 ,就可以与定量因素水平一样对待。 （3）水平：指每个因素要对比的状态，1、2、3 。A1 、A2、A3、 ；B1、B2 。 Date 12 质量管理试验设计 3 . 用正交试验设计分析质量问题的步骤 （1）明确试验目的，确定要考核的质量试验指标。 （2）根据试验目的，确定要考察的质量因素和各因 素的水平；对实际问题的具体分析选出主要因素，略去 次要因素。 （3）选用合适的正交表，安排试验计划； （4）根据安排的计划进行试验，测定各试验指标； （5）对试验结果进行计算分析，得出合理的结论。 Date 13 质量管理试验设计 4. 正交试验设计的工具正交表 列数 (可安排的因素数量) 字码数(可安排的水平数) 行数（实验次数） 表示正交表 （1）正交表及其用法 Date 14 质量管理试验设计 列号 试验号 123 1111 2122 3212 4221 正交表 Date 15 质量管理试验设计 2水平的： ， ， ， ； 3水平的： ， ； 4水平的： ； 5水平的： 。 通用表达式： （2）常见的正交表 Date 16 质量管理试验设计 （3）正交表的性质 （a）每列中不同数字出现的次数是相同的; （b）在任意两列中，将同一行的两个数字看成有序数对 时，每种数对出现的次数是相等的。 由于正交表的这种性质，用它来安排试验时，各 因素的各种水平的搭配是均衡的。使正交表具 有搭配均匀的属性即正交性。 Date 17 质量管理试验设计 （4）混合型正交表 列数 因素水平 试验次数 正交表代号 a. 表达式： Date 18 质量管理试验设计 列号 试验号 12345 111111 212222 321122 422211 531212 632121 741221 842112 b. 正交表 Date 19 质量管理试验设计 每一列中不同数字出现的次数是相同的； 每两列各种不同的水平搭配出现的次数是相同的 ，但每两列不同水平的搭配的个数是不完全相同的 。 拟水平法 c. 特点： （5）正交表的构造 符号转换法 阿达玛矩阵法 正交拉丁方法 有现成的正交表可查。 Date 20 质量管理试验设计 5. 正交试验设计的方法 例5.1：某农科站进行品种试验。公有4个因素：A（品 种）、B（氮肥量）、C（氮、磷、钾肥比例）、D（规格 ），因素A是4水平的，另外3个因素都是2水平的，具体数 值如下表。试验指标是产量，数值越大越好。试用混合正 交表安排试验，找出最好的试验方案。 （1）混合水平的正交试验设计 因 素 水平 A 品种 B 氮肥量 /kg C 氮、磷、钾 肥比例 D 规格 1 2 3 4 甲 乙 丙 丁 2.5 3.0 3:3:1 2:1:2 6X6 7X7 Date 21 质量管理试验设计 解：选用混合正交表 表5.1 因素 试验 号 1 2 3 4 A B C D 试验 指标 （产量）/kg 减去 200 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 3 1 2 1 3 2 1 2 4 1 2 2 4 2 1 1 195 205 220 225 210 215 185 190 -5 5 20 25 10 15 -15 -10 0 10 20 20 45 35 35 25 25 -25 Date 22 质量管理试验设计 续表 5.1 因素 试验号 1 2 3 4 A B C D 试验指标 （产量）/kg 减去 200 0 2.5 5.0 5.0 22.5 8.8 8.8 6.3 12.5 -12.5 极 差35.0 6.3 3.3 1.3 优方案 结论：第4号试验接近最优 Date 23 质量管理试验设计 混合正交表的特殊情形拟水平的正交试验设计 例5.2：今有一试验，试验指标只有一个，它的数值越小 越好，这个试验有4个因素A、B、C、D，其中C是2水平的 ，其余3个都是3水平的，具体数值如表5.2，试安排试验结 果进行分析，找出最好的试验方案。 因素 水平 A B C D 1 2 3 350 15 60 65 250 5 80 75 300 10 85 表5.2 Date 24 质量管理试验设计 解：选用正交表 来安排试验 因素 水平 A B C D 1 2 3 350 15 60 65 250 5 80 75 300 10 80 85 从第1、第2水平中选用一个水平，让它重复一次作为 第3水平虚拟水平。“拟水平法”，是将水平数较少的 因素虚拟一些水平，使整个试验能在现有的合适的正交表 上安排。如用混合型正交表来安排上述试验，则可用 L18(237)，如想减少试验次数则可将因素D拟成3水平， 用L9(34)来安排。 表5.3 Date 25 质量管理试验设计 第2水平比第1水平好，选作为第3水平（由实际经验） ，结果是8号试验最好。 表5.4 因 素 试验号 1 2 3 4 A B C D 试验 指标 测试 结果 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 3 3 2 3 2 1 2 2 3 2 2 3 2 1 2 3 1 1 2 3 1 3 2 2 3 2 1 1 3 3 3 2 2 1 45 36 12 15 40 15 10 5 47 Date 26 质量管理试验设计 93 70 65 132 70 81 160 61 62 74 32 31.0 23.3 21.7 44.0 23.3 24.7 26.7 20.3 20.7 24.7 10.7 极差10.3 3.7 5.0 33.3 优方案 续表5.4 Date 27 质量管理试验设计 （2）有交互作用的正交试验设计 a. 交互作用表 下面是正交表 对应的交互作用表 在多因素试验中，各因素不仅各自独立地起作用，而且 经常联合起作用，联合搭配对试验指标也有影响，这就是因 素的交互作用，AXB。 可根据实际经验，判断交互作用影响很小时，就忽略不 计；如果不能确认交互作用影响很小，就应通过试验分析交 互作用的影响大小。 Date 28 质量管理试验设计 列 号 1234567 1(1)325476 2(2)16745 3(3)7654 4(4)123 5(5)32 6(6)1 7(7) 表5.5 Date 29 质量管理试验设计 AB 1234567 表5.6 框内的数字除带“（）”以外，都是交互作用的列号。设有 A，B，C三个因素，且都是二水平。如考虑它们之间的 交互作用AB，BC，AC，如何进行表头设计呢？ 先安排A，B，C中的任意两个，此时这两个因素可安放 在任意位置上，如将A，B放在1，2两列位置上。 Date 30 质量管理试验设计 ABABC 1234567 ABAB 1234567 将因素C安排在除第1，2，3列之外的任意位置上 ,如排在第5列 由交互作用正交表找到A与B的交互作用AB的位置为 第3列， 表5.7 表5.8 Date 31 质量管理试验设计 由交互作用正交表找到BC，AC的位置分别为第 4列和第7列,即 ABABACCBC 1234567 表5.9 b. 水平数相同有交互作用的正交试验设计 例5.3: 某产品的产量取决于3个因素A、B、C，每个因素 有两个水平，具体数值如表5.10。 因 素 水平 A B C 1 2 60 1.2 20% 80 1.5 30% 表5.10 Date 32 质量管理试验设计 每两个因素之间都有交互作用，试验指标为产量，越高越 好。试安排试验，并分析试验结果，找出最好的方案。 解：3个因素A、B、C之间的交互作用AXB、BXC、AXC，共 6列，可用正交表 来安排试验，并用直观分析法进行分析 。 因素 试验号 1 2 3 4 5 6 7 A B AXB C AXC BXC 试验指标 产量 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 65 73 72 75 70 74 60 71 表5.11 Date 33 质量管理试验设计 AXB是2水平好，所以B取2水平，AXC和BXC影响忽略 ，优方案 ，结果是4号试验最好。 285 282 269 267 282 281 275 278 291 293 278 279 560 71.25 70.5 67.25 66.75 70.50 70.25 68.75 69.5 72.75 73.25 69.50 69.75 极差2.5 1 5.5 6.5 1 0.5 优方案 2水平 1水平 1水平 续表5.11 Date 34 质量管理试验设计 c. 自由度 定义：自由度就是独立的数据或变量的个数。 确定自由度的原则：i）正交表每列的自由度 等于各列 的水平数减1，由于因素和列是等同的，从而每个因素的 自由度等于该因素的水平数减1；ii）两因素交互作用的自 由度等于两因素的自由度的乘积： 两个n水平的因素，每个因素的自由度为n-1，两个因素的 交互作用的自由度就是（n-1）（n-1），交互作用列要占 （n-1）列。 Date 35 质量管理试验设计 自由度的一般定义 设有: x1, x2, , xn，的自由度取决于 xi之间的m个线性约束关系 。 如果有m个(0mn)线性约束方程，即: 并且这m个方程是相互独立的，则： 自由度f=n-m。 Date 36 质量管理试验设计 求自由度的目的主要是为了消除数据量的差异对 变差平方和的影响。定义下式为平均平方和： （3）多指标的正交试验设计 找出使每个指标都能尽可能好的试验方案： a. 综合平衡法 b. 综合评分法 （4）正交试验设计的方法举例 例5.4 ：轴承圈热处理退火试验 Date 37 质量管理试验设计 a. 试验目的：轴承圈退火的旧工艺因退火后产品硬度偏高 ，每炉要有15%左右回炉，希望通过试验，找到较好的 工艺条件，降低硬度。 b. 确定试验因素和水平：通过分析确定有三个因素：上升 温度(A),保温时间(B)，出炉温度(C)，因素水平确定如下 ： ABC 一水平8000C6小时4000C 二水平8200C8小时5000C c. 选择正交表与表头设计:由选定的因素及相应的水平来选 择正交表。一般可选实验次数较少的正交表L4(23)： 表5.12 Date 38 质量管理试验设计 表头设计：即将各因素安排到各列位置上。表头设计 的原则：可自由选择各个因素的位置(因素之间存在交互 作用时除外) 因素 试验号 A 1 B 2 C 3 1111 2122 3212 4221 d. 确定试验方案：即将设计好的表头及各因素的水平填写 到正交表中去。 表5.13 Date 39 质量管理试验设计 列号 试验号 ABC 1 1 (8000C) 1 (6小时) 1 (4000C) 212 (8小时) 2 (5000C) 32 (8200C) 12 4221 其中1号试验条件为：上升温度为8000C，保温时间 为6小时，出炉温度为4000C e. 试验的随机化 为了消除某些可能的系统原因的影响，一般不按试验 顺序依次做，而是用随机化方法来确定试验的次序。 表5.14 Date 40 质量管理试验设计 三、正交试验设计的分析方法 1. 直观分析法（极差分析法） 2. 方差分析（Variance Analysis） （1）单因素试验的方差分析 （2）双因素试验方差分析 a. 无交互作用的方差分析 b. 有交互作用的方差分析 Date 41 质量管理试验设计 1. 直观分析法 (1) 特点：简单、直观，但分析精度不高 (2) 方法：根据极差的大小来判断因素的重要程度 (3) 步骤：举例 例5.3.1：某五金厂在弹簧生产中有时发现产品因弹性 差而断裂，为提高产品的弹性指标，要做回火工艺试验。 a、试验目的：通过热处理回火试验寻求新的工艺参 数以提高弹簧的弹性指标。 Date 42 质量管理试验设计 b、制定因素水平表：对弹性指标可能有影响的因 素有三个：回火温度A，保温时间B，工件重量C，各 取三个水平，如下表： 。 A(0C)B(分)C(kg) 1440315 2460418 3500521 c、确定试验方案：根据因素及其水平，可选用L9(34) 列号1234 因素ABC? 表5.15 将各因素的各水平按所设计的表头填入选定的正交 表中，试验时，应严格按照设计好的方案进行。 Date 43 质量管理试验设计 d、试验结果分析表5.16 ABC弹 性 1111377 2122391 3133362 4212350 5223330 6231320 7313326 8321302 9332318 K111301053999T=3076 K2100010231059 K394610001018 377351333 333341353 315333339 R621820 Date 44 质量管理试验设计 v 从已做的9次试验中看，第二号试验结果最好，此时的 试验条件为A1B2C2，但这是否是33=27次试验中最好的一 次呢？现在还不能下结论，还需通过进一步的计算分析 来确定。表的下半部分是试验结果的计算，其中：K1， K2，K3为每个因素的三个水平各自的三次试验结果之和 。 其中 ： 是对应于每个K1，K2，K3的平均值。例如 ： R为极差，是每一个因素三种水平下试验结果平均值中 最大值与最小值之差。 Date 45 质量管理试验设计 (4) 因素指标趋势图：各因素对指标的影响趋势， 从而确定进一步试验的方向。在下图中，因素A对指标的 影响趋势是A取值小时指标高，下一次试验时，可取比 A1=4400C更低的温度，如420等等。当然也有可能取A3 时的指标为最低点，取此A3高的温度时，弹性指标会升 高。所以 也可取比A3更高的温度如520等等试验。对因 素B，C也可作同样的分析。 （5）因素对试验的影响分析 表中的极差R反映了试验结果的差异，R越大说明该因素 取不同水平时对试验结果的影响就越大，反之，就对试 验结果的影响越小。因此，可根据R的大小来决定各因 素对试验结果影响的主次顺序。 主次：A C B= Date 46 质量管理试验设计 280 300 320 340 360 380 400 A1A2A3B1B2B3C1C2C3 （6）选择最佳工艺条件 选择最佳工艺条件的原则是优先考虑主要因素 。 （7）对“最佳工艺条件”的试验结果进行预估的经验公 式 在对可能的最佳工艺条件作试验验证时，可先用经 验公式对试验结果做预估。经验公式为： Date 47 质量管理试验设计 某条件下的指标估计值=该条件下各因素所选水平对应的 指标平均值之和(因素数1) 总平均 Date 48 质量管理试验设计 2. 方差分析 设单因素A有a个水平 ， ， ，在水平 ， 进行 次试验 ，得到观察值列于下表5.3.1 . 数学模型： 设在各个水平 下的样本为 来自正态总体 其中 已知，并且不同 水平 下的样本之间互相独立。 方差分析：是对关于具有方差齐性的正态总体，对其 均值作检验和估计的统计方法。 （1）单因素试验的方差分析 Date 49 质量管理试验设计 表 5.3.1 12a 则有线性统计模型： 其中 相互独立，为随机误差。 Date 50 质量管理试验设计 设 令 得 为总平均值 方差分析的任务就是检验上面线性统计模型中a 个总体 中的各 的相等性。 Date 51 质量管理试验设计 即有： 原假设 ： 备择假设 ： 至少有一对这样的 或等价于 原假设 ： 备择假设 ： 至少有一个 检验这种假设的程序就是方差分析： i. 总离差平方和的分解 在水平 下的样本均值为 Date 52 质量管理试验设计 样本数据的总体均值为 总离差平方和为 Date 53 质量管理试验设计 将 改写并分解得 记： Date 54 质量管理试验设计 则有： 总变差 ：表示全部试验数据与总平均数据之间的差异反映 了试验数据相对于数据均值离散程度（即波动） 的大小； 组间差 ：表示在 水平下的样本均值与总平均值之间的 差异，或叫因素 A效应的平方和，由试验条件不 同导致试验结果不同； 组内差 ：表示在 水平下的样本均值与样本值之间的差 异，是由随机误差引起的（试验过程中各种偶然 因素及测量误差引起），叫误差平方和。 Date 55 质量管理试验设计 ii. 统计分析 将 改写为： 其中 样本方差 得到 Date 56 质量管理试验设计 同理可得到： 则 或 的 均方 Date 57 质量管理试验设计 在 为真的情况下，取统计量 对于给定的 ，若 不成立，即 ，至少有 一个 ， 偏大，导致F 偏大，因此，判断： 当 时，拒绝 ； 当 时，接受 Date 58 质量管理试验设计 为便于计算，常采用下面的简洁公式： 记 则有： Date 59 质量管理试验设计 iii. 单因素方差分析表 方差来源平方和自由度均方F比 因素A 误差E 总和T 自由度的关系fT=fEfA Date 60 质量管理试验设计 iv. 单因素方差分析的实际应用 利用试验数据的总变差分解出条件变差（即组间差） 和试验误差（即组内差）； 将条件变差与试验误差在一定意义下进行比较，如两 者之比值不显著，则说明条件对试验结果影响不大， 反之，则说明条件对试验结果有影响； 若条件的影响是显著的，可据此选择好的工艺条件或 确定进一步试验方向。 Date 61 质量管理试验设计 例5.5 人造纤维的抗拉强度是否受掺入其中的棉花的百分 比的影响是有疑问的。现确定棉花百分比的5个水 平：15%，20%，25%，30%，35%。每个水平 中测5个抗拉强度的值，列于下表，问：抗拉强度 是否受棉花百分比的影响？ 棉花百分比 （i） 抗拉强度观察值（j） 1234520121712181877 25141818191988 301925221923108 3571011151154 Date 62 质量管理试验设计 解： 设抗拉强度为 ， 原假设 ： 备择假设 ： 至少有一对这样的 这里 Date 63 质量管理试验设计 、 、 的自由度试分别为24、4、20。 方差来 源 平方 和 自由 度 均方F比 因素A475.7 6 4118. 94 118.94/8.06=14.7 6 误差E161.2208.06 总和T636.9 6 24 Date 64 质量管理试验设计 已给 ，查表得 而 故拒绝愿假设 ，接受 ： 说明棉花的百分比对人造纤维的抗拉强度有影响。 Date 65 质量管理试验设计 （2）双因素试验的方差分析 设A，B两个因素，A有a个水平： ，B 有b个水平： ，在每组水平 下，做一次 试验（无重复试验），得到的试验观察值列于下表5.3.2. 设 ，各 相互独立， 取线性统计模型 ， 其中 相互独立 若记 Date 66 质量管理试验设计 因素 因素 表5.3.2 Date 67 质量管理试验设计 称为因素A的 水平下的效应， 称为因素B的 水平下的效应， 则有线性统计模型： 检验的假设； 至少有一个j， 至少有一个i： 其中 相互独立，为随机误差 Date 68 质量管理试验设计 i. 总离差平方和的分解 在水平 下的样本均值为 在水平 下的样本均值为 样本数据的总平均值 总离差平方和为 Date 69 质量管理试验设计 将 分解得 记： Date 70 质量管理试验设计 ii. 统计分析 则有： ， 表示因素A、因素B的效应的平方和， 为误 差的平方和。 同单因素分析方法类似，可得各均方值 Date 71 质量管理试验设计 取统计量 在 成立时 ， 对于给定的 ，查出 ， 和 当 时，拒绝 ；否则接受 当 时，拒绝 ；否则接受 Date 72 质量管理试验设计 为便于计算，常采用下面的简洁公式： Date 73 质量管理试验设计 iii. 双因素方差分析表 方差来源平方和自由度均方F比 因素A 因素B 误差E 总和T Date 74 质量管理试验设计 b.有交互作用的方差分析 设A，B两个因素，A有a个水平： ，B有b个 水平： ，为研究交互作用的影响，在每组水平 下重复n次（ ）试验，每个试验观察值记为 结果列于下表5.3.3. 设 ，各 相互独立， ， 含义同前， 称为水平 和水平 的 交互效应， Date 75 质量管理试验设计 表5.3.3 则有线性统计模型： 其中 相互独立，为随机误差。 Date 76 质量管理试验设计 检验的假设 至少有一个i 至少有一个j 至少有一对i、j Date 77 质量管理试验设计 i. 总离差平方和的分解 总离差平方和为 Date 78 质量管理试验设计 将 分解得 记： Date 79 质量管理试验设计 ii. 统计分析 为因素A、因素B的交互效应的平方和，其它同前。 同单因素分析方法类似，可得各均方值 Date 80 质量管理试验设计 在 成立时，取统计量 在 成立时，取统计量 在 成立时，取统计量 对于给定的 ，查出相应的 当 时，拒绝 ；否则接受 当 时，拒绝 ；否则接受。 Date 81 质量管理试验设计 为便于计算，常采用下面的简洁公式： 当 时，拒绝 ，有 显著的影响；否则接受。 Date 82 质量管理试验设计 iii. 双因素方差分析表 方差来源平方和自由度均方F比 因素A 因素B 交互作用AXB 误差E 总和T Date 83 质量管理试验设计 F0.01F ， 因素的影响特别显著,记为“*”； F0.05FF0.01，因素的影响显著,记为“*”； F0.10FF0.05，因素有影响记为“(*)”； F0.25FF0.10，因素有一定影响记为“*”； FF0.25，因素无明显影响 不作记号。 iv. 方差分析的显著性判断标准 Date 84 质量管理试验设计 四、正交试验设计的应用分析 1. 正交设计方差分析的步骤与格式 2. 有交互作用正交设计的方差分析 3. 拟水平正交设计的方差分析 Date 85 质量管理试验设计 1. 正交设计方差分析的步骤与格式 （1）计算离差的平方和 用正交表安排 个因素的试验 试验的总次数为 ， 试 验结果分别为 。假定每个因素有 个水平 ，每个水平做 次试验。则 。 i. 总离差的平方和 Date 86 质量管理试验设计 记为 ： 其中， 反映了试验结果的总误差，其越大，说明各次试验 的结果之间的差异越大（由因素水平的变化引起或有试验 误差） ii. 各因素离差的平方和 设因素A安排在正交表的某列，可看作单因素试验。 用 表示A的第 个水平的第 个试验的结果，则有: Date 87 质量管理试验设计 因素A的离差的平方和： 记为 反映了因素A的水平变化时所引起的试验结果的差 异，即因素A对试验结果的影响。 对于两因素的交互作用，如占两列，则交互作用的 离差的平方和等于这两列的离差的平方和之和。 Date 88 质量管理试验设计 （2）计算自由度 iii. 实验误差的离差的平方和 试验的总自由度 各因素的自由度 Date 89 质量管理试验设计 （3）计算平均离差平方和（均方） （4）求F比 （5）对因素进行显著性检验 给出检验水平 ，查表求 若 则说明该因素对试验结果的影响显著。 Date 90 质量管理试验设计 例5.4.1: 为提高某产品的产量，需要考虑3个因素：反 应温度、反应压力和溶液浓度，每个因素都取3个水平， 具体数值如下表。考虑因素之间的所有一级交互作用， 试进行方差分析，找出最好的工艺条件。 解：试验有3个因素，3个一级交互作用，占6列，一共 9列，选用正交表L27（313） 因素 水平 A（温度） /0C B（压力） /105Pa C（浓度） /% 1 2 3 60 65 70 2.0 2.5 3.0 0.5 1.0 2.0 Date 91 质量管理试验设计 列号 试验 号 1 2 3 4 5 6 7 8 11 A B C 产量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 3 3 3 1 2 2 2 1 1 1 2 3 1 2 2 2 2 2 2 3 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 1 3 3 3 1 1 1 3 2 1 3 3 3 2 2 2 1 3 1 3 3 3 3 3 3 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 1 2 1 2 3 2 3 1 2 2 2 1 2 3 3 1 2 3 3 2 2 3 1 1 2 3 2 3 2 2 3 1 2 3 1 3 1 1.30 4.63 7.23 0.50 3.67 6.23 1.37 4.73 7.07 0.47 3.47 6.13 0.33 3.40 表5.4.1 Date 92 质量管理试验设计 列号 试验 号 1 2 3 4 5 6 7 8 11 A B C 产量 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2 3 3 1 3 1 2 1 2 2 3 1 2 1 2 3 3 2 2 3 1 2 2 3 1 1 3 2 3 1 2 3 1 2 2 1 3 1 3 2 1 3 2 1 1 3 1 3 2 2 1 3 2 2 3 1 3 2 3 2 1 3 3 3 2 1 3 1 3 2 2 3 3 2 1 3 2 1 3 3 1 3 2 1 3 3 2 1 1 2 3 3 2 1 1 3 2 3 2 3 3 2 1 2 1 3 1 3 3 3 2 1 3 2 1 2 1 5.80 0.63 3.97 6.50 0.03 3.40 6.80 0.57 3.97 6.83 1.07 3.97 6.57 续表5.4.1 Date 93 质量管理试验设计 列号 试验 号 1 2 3 4 5 6 7 8 11 A B C 产量 36.73 33.46 35.63 34.30 6.27 32.94 34.21 33.33 32.98 30.70 31.30 32.08 31.73 35.21 34.66 33.13 33.04 33.43 33.21 35.88 32.93 34.61 59.16 33.04 33.30 34.27 33.23 100.64 1349. 1 1119.57 1269.50 1176.49 39.31 1085.04 1170.32 1110.89 1087.68 942.49 979.69 1029.13 1006.79 1239.74 1201.32 1097.60 1091.64 1117.56 1102.9 1287.37 1084.38 1197.85 3499.91 1091.64 1108.89 1174.43 1171.69 Q 377.17 376.29 375.89 375.68 531.00 375.33 375.20 375.22 375.22 S2.04 1.17 1.32 155.87 0.28 0.18 续表5.4.1 Date 94 质量管理试验设计 计算： Date 95 质量管理试验设计 同理： 得： Date 96 质量管理试验设计 总平方和： 得实验误差的离差的平方和： 计算自由度： Date 97 质量管理试验设计 方差来源平方和自由度均方F值临界值显著性优方案 因素A 因素B 因素C AXB AXC BXC 误差E 总和T 2.04 1.17 155.87 1.32 0.28 0.18 0.34 161.20 2 2 2 4 4 4 8 26 1.02 0.58 77.93 0.33 0.05 20.40 11.60 1559.60 6.60 * * * * 方差分析表 Date 98 质量管理试验设计 注： a、如自由度fe太小会降低F检验的灵敏度，如某因素本来 有显著影响，但F检验却检验不出来。fe越大，则F检验 灵敏度越高，但fe大也意味着试验次数增加，费用增加 。一般情况希望保证fe在510。 b、F值特别小，例如大大小于1，这种情况一般不应发生 ，其原因可能是取样或测量中有系统误差或是实验结果 的有效位数取得太小等原因。 c、试验的随机化：将正交表中的试验编号后分批，然后 用随机数表等方式决定它们的试验次序。这样的目的是 为了尽量减少人为因素等系统因素的影响。 d、正交表的选择: Date 99 质量管理试验设计 正交试验的优点是可减少试验次数，特别当参加试验的 因素较多时，但如果因素间的交互作用较多时，正交试验的 优越性就显然要减弱，因为每个交互作用都要占据一列，当 有三个因素时，要考虑的交互作用就有（3/2）=3个，当有4 个因素时，交互作用有（4/2）=6个，试验次数将要增加。解 决这个矛盾的办法是： （a）如果试验目的主要时寻找较好的工艺条件，可以选 择较小的正交表，而不考虑因素之间是否存在交互 作用； （b）当试验的主要目的是寻找事物内部的规律，就应选择 尽量大的正交表，以避免混杂现象。如果选择较小 的正交表，不可避免地要产生许多混杂现象，它会 不会影响选择最佳工艺条件呢？ Date 100 质