ch1-4无穷小量及无穷大量.ppt

第1章 函数、极限、连续 第1节 集合、映射与函数 第2节 数列的极限 第3节 函数的极限 第4节 无穷小量及无穷大量 第5节 连续函数 2008年10月20日1 南京航空航天大学 理学院 数学系 第4节 无穷小量及无穷大量 n4.1 无穷小量及其阶 n4.2 无穷小的等价代换 n4.3 无穷大量 2008年10月20日2 南京航空航天大学 理学院 数学系 1.无穷小量 （1）定义4.1(无穷小量) 当 若时 , 函数 则称函数 例如 : 函数 当时为无穷小; 函数 时为无穷小; 为 时的无穷小量 . 2008年10月20日3 南京航空航天大学 理学院 数学系 注意1.无穷小是以0为极限的函数,不能与很小的 数混淆; 例： 同时无穷小是相对于某变化过程而言! 2008年10月20日4 南京航空航天大学 理学院 数学系 注意 2.零是可以作为无穷小的唯一的数. 即 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为 当 时, 显然 C 只能是 0 ! C C 2008年10月20日5 南京航空航天大学 理学院 数学系 （2）无穷小与函数极限的关系 其中 为 时的无穷小量 . 定理 4. 1( 无穷小与函数极限的关系 ) 证: 当时,有 对自变量的其它 变化过程类似可证 . 2008年10月20日6 南京航空航天大学 理学院 数学系 意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); 2008年10月20日7 南京航空航天大学 理学院 数学系 （3）无穷小的运算性质 定理4.2 在同一极限过程中, (1)有限个无穷小的代数和仍是无穷小; (3)有极限的函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 常数与无穷小的乘积是无穷小. (2)有限个无穷小的乘积也是无穷小. 2008年10月20日8 南京航空航天大学 理学院 数学系 定理4.3 设在x0处局部有界，则 定理4.3常描述为有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 从而有 由夹逼性,有 都是无穷小. 2008年10月20日9 南京航空航天大学 理学院 数学系 2. 无穷小的比较 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 观察各极限 不可比. 2008年10月20日10 南京航空航天大学 理学院 数学系 （1）无穷小的阶 定义4.2 2008年10月20日11 南京航空航天大学 理学院 数学系 注意 例 解 例如 2008年10月20日12 南京航空航天大学 理学院 数学系 例2 证明: 当时, 证 2008年10月20日13 南京航空航天大学 理学院 数学系 等价无穷小的刻画 例如, 2008年10月20日14 南京航空航天大学 理学院 数学系 常用的等价无穷小: 2008年10月20日15 南京航空航天大学 理学院 数学系 （2）无穷小的等价代换 定理4.4(无穷小量的等价代换) 证 2008年10月20日16 南京航空航天大学 理学院 数学系 例 解 不能滥用等价无穷小量代换.注意 只能对分子分母中的无穷小因子进行代换.不能对 所求极限表达式中的被加,被减函数进行代换,否则 会产生错误. 2008年10月20日17 南京航空航天大学 理学院 数学系 例 解 解 错 2008年10月20日18 南京航空航天大学 理学院 数学系 3. 无穷大量 观察： 越来越大 越来越大 越来越小 越来越大 越来越大 2008年10月20日19 南京航空航天大学 理学院 数学系 定义4.3 若任给 M 0 , 一切满足不等式的 x , 总有 则称函数当时为无穷大, 使对 若在定义中将 式改为 则记作 (正数 X ) , 记作 总存在 无穷大(量)的定义 2008年10月20日20 南京航空航天大学 理学院 数学系 证 2008年10月20日21 南京航空航天大学 理学院 数学系 注意 1.无穷大量是变量,不能与很大的数混淆; 3. 无穷大量是一种特殊的无界变量,但是 无界变量未必是无穷大. 2008年10月20日22 南京航空航天大学 理学院 数学系 2008年10月20日23 南京航空航天大学 理学院 数学系 4.无穷小与无穷大的关系 若为无穷大,为无穷小 ; 若为无穷小, 且 则为无穷大. 则 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 定理4.5 在自变量的同一变化过程中, 意义: 2008年10月20日24 南京航空航天大学 理学院 数学系 证 2008年10月20日25 南京航空航天大学 理学院 数学系 5 无穷大量阶的比较 定义 2008年10月20日26 南京航空航天大学 理学院 数学系 2008年10月20日27 南京航空航天大学 理学院 数学系 O记号的含义 (P63) 定义 2008年10月20日28 南京航空航天大学 理学院 数学系 解 商的法则不能用 由无穷大量与无穷小量的关系,得 例7 2008年10月20日29 南京航空航天大学 理学院 数学系 例8 解 2008年10月20日30 南京航空航天大学 理学院 数学系 无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 子,分母,以分出无穷小,然后再求极限. 小结 2008年10月20日31 南京航空航天大学 理学院 数学系 例9 求 解法 1 原式 = 解法 2 令则 原式 = 2008年10月20日32 南京航空航天大学 理学院 数学系 EX. 求极限 解答 2008年10月20日33 南京航空航天大学 理学院 数学系 极限求法小结: a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d. 变量代换