X08-4,5二阶微分方程.ppt

8-4 二阶线性常系数微分方程的解解构 引入 解受力分析 物体自由振动的微分方程 强迫振动的方程 二阶线性微分方程 二阶线性齐次微分方程 二阶线性非齐次微分方程 n阶线性微分方程的一般形式 注:1) 非齐次方程通解 = 对应齐次方程通解 + 非齐次方程一特解 2）常数变易法： 3) 公式: 1.二阶齐次方程的基本解组: 问题: 例如 线性无关 线性相关 特别地: 例如 定理 ： 当y1，y2为非齐次线性方程解时， y1-y2为齐次线性方程解。 2.二阶非齐次线性方程的一般解: 解的叠加原理 复数解的叠加原理 8-5 二阶常系数线性微分方程的解法 n阶常系数线性微分方程的标准形式 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 1、二阶常系数齐次线性方程解法 -特征方程法 将其代入上方程, 得 故有特征方程 特征根 有两个不相等的实根 两个线性无关的特解 得齐次方程的通解为 特征根为 有两个相等的实根 一特解为 得齐次方程的通解为 特征根为 有一对共轭复根 重新组合 得齐次方程的通解为 特征根为 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例1 解特征方程为 解得 故所求通解为 例2 解特征方程为 解得 故所求通解为 例3 n阶齐次线性微分方程: 特征根 通解中的对应项： 单实根： Cex 共轭单复根：i ex(C1cosx+C2sinx) k重实根： (C1+C2x+Ckxk-1)ex k重共轭复根i ex(C1+C2x+Ckxk-1)cosx+(D1+D2x+Dkxk-1)sinx) 例 1 求线性常系数齐次方程 y”+y=0通解 例2：已知线性常系数齐次方程特征根如下 试写出相应的阶数最低微分方程 （1） r1=-1,r2,3=i (2) r1,2=2 特征根为 故所求通解为 解特征方程为 例4 小结 二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3） x轴向下为正。则按题意浮筒的运动是无阻尼自由振动 例5：设圆柱形浮筒，直径为0.5m铅直放在水中， 当稍向下压后突然放开，浮筒在水中上下振动的周 期为2S求浮筒的质量 解： 2.欧拉方程解法 x2y”+axy+by=0 (a,b为常数） x=et t=lnx 3.二阶线性常系数非齐次微分方程的解法 非齐次常系数方程 y”+py+qy =f(x) 非齐次方程通解 = 对应齐次方程通解 + 非齐次方程特解y*。 1）常数变易法 设对应齐次方程通解为 设非齐次方程解为 设(1) (2) 积分可得 非齐次方程通解为 例1 求解 y”+y=1/cosx 解：特征方程r2+1=0 r=i, 基本解组y1=cosx, y2= sinx 按照常数变易法 (x) y1+u2 (x) y2=0 u1 (x) y1+u2 (x) y2= f(x) (x) cosx+u2 (x)sinx=0 -u1 (x) sinx+u2 (x)co sx =1/cosx 解得 u1 (x)= -sinx/cosx u2 (x)=1 解得 u1 (x)= lncosx +C1 u2 (x)=x+C2 方程通解：y=C1 cosx+C2 sinx+ lncosx cosx+x sinx 例 2 已知 (x-1) y”-xy+y=0通解y=C1x+C2ex求非齐次方程 (x-1) y”-xy+y=（x-1)2通解。 解： y”-x y /(x-1) +y/(x-1)=（x-1) 按照常数变易法 (x) y1+u2 (x) y2=0 u1 (x) y1+u2 (x) y2=f(x) (x)x+u2 (x)ex=0 u1 (x) +u2 (x)ex =x-1 解得 u1 (x)= -1 u2 (x)=xe-x 解得 u1 (x)= -x +C1 u2 (x)=-xe-x-x+C2 方程通解：y=C1 x+C2 ex -x2+(-xe-x-x)ex 若已知二阶齐次方程的一个特解利用常数变易法求 齐次方程的通解。 例3已知（x+2）y”-(2x+5)y +2y=0一个特解y1=e2x, 求通解。 解：求另一个与y1无关的解y2, y2/y1 =u(x) 不是常数。 y2=u(x)e2x 代入方程得： u”/u= -2+1/(x+2) 两边积分： u(x)=(x+2)e -2x (取C=0) u(x)= -1/4 (2x+5)e - 2x y2=u(x)e2x= -1/4 (2x+5) 通解： y= C1e2x C2 /4 (2x+5) 待定系数法 1 . f(x)= Pm(x) (Pm(x)为m次的多项式) 设特解为y*=Q(x) Q（x）与Pm(x)同次多项式代入方程待定系数 2、 特解形式 代入原方程，并消去ex，有 综上讨论 例 2 求微分方程的一般解 （1）y”-2y+y=(x+1)ex 解：=1是重特征根y*=x2(B0+B1x) ex （ y*）=(2B0x+3B1x2) ex+(B0x2+3B1x3) ex （ y*）”=(2B0+6B1x) ex+2(2B0x+3B1x2) ex +(B0x2+B1x3) ex 代入： 2B0+6B1x = x+1 B0=1/2 B1=1/6 一个特解： y*=x2(1/2+x/6) ex 微分方程的一般解： Y=(C1+C2x) ex+ x2(1/2+x/6) ex 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入方程, 得 原方程通解为 例3 例5 设出下列微分方程的特解形式 （1）y”-2y-3y=(x+1)e-x =-1是特征根y*=x(ax+b) e-x (2) y”-2y-3y=(x2+1)ex =1不是特征根y*=(ax2+bx+c) ex (3) y”-2y-3y=(x2+1)e - x + e3x =-1是特征单根y1*=x(ax2+bx+c) e x =3是特征单根y1*=xd e 3x 解 设 的特解为 设 的特解为 则所求特解为 特征根 （重根） 例6写出微分方程 的待定特解的形式. 先求辅助方程 则 Rey*是方程 则 Imy*是方程 3、类型 y”+py+qy = e x P n(x)cosx +i e x Pn(x)sin x = e x P n(x)(cos x +i sin x ) 欧拉公式： ei x=cos x+i sin x 转化为第（2）型 = + i 设特解：y*=xkQm(x) ex 不是特征根K=0、是特征根,K=1 ，用比较系数法定Qm(x)。 例1求微分方程y”-2y+2y=xexcosx的一般解。 解： r2-2r+2=0 r=1i, 齐次方程一般解： Y=(C1cosx+C2sinx) ex 先作一个辅助方程 = + i=1+i是特征根 f(x) = x e （1+i） x 设特解：y*=x（ B0 +B1x) e（1+i)x （ y*）=(B0+2B1x) e （1+i) x+(B0x2+B1x3) （1+i) e （1+i) x （ y*）”= 2B1x e （1+i) x +2(B0+2B1x) （1+i) e （1+i) x +(B0x2+B1x3) （1+i) 2e （1+i) x 2B0 i+2B1 +4B1ix = x =2B0 i+2B1 =0 4B1i=1 B0=1/4 B1=-i/4 y*=x（ B0 +B1x) e（1+i)x =x(1/4 -ix/4) e（1+i)x = x(1/4