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第一节 重积分的概念与性质 重积分 将定积分概念 推广到平面区域上的二元函数或空间区 域上的三元函数就得到重积分概念。 1 重积分的概念与性质 一.引例 例1 曲顶柱体的体积: 如果是平顶柱体,则体积=底面积高. 以 xoy面上的有界闭域 D为底,曲面 z = f (x,y) 为顶,母线平行于z轴的柱面为侧面的柱体. 对于曲顶柱体,仿照用定积分研究曲边梯形的方法: 分割,取近似,求和,取极限. 二重积分 将曲顶柱体任意分成 n 个小曲顶柱体, 每一个近似看作平顶柱体. 为 的最大直径. 例2.变密度物体的质量: 设物体位于空间有界闭域 上,密度为连续函数 . 同理: 三重积分 1.二重积分定义 存在,且极限值不依赖于对D的分法,也不依赖于 在子域 内的取法,则称此极限值为函数f(x,y)在D上的二重积分. 二.概念 作和式 设f(x,y)是定义在有界闭域D上的有界函数,将D任意分成 n个小区域 , 在 上任取一点 , 当 的最大直径 趋于零时,如果 积分区域面积微元 (1)上述定义可以推广到一般的n重积分. (2)如果被积函数在积分区域上连续，则重积分存在. 注: 三. 重积分性质(与定积分类似,以二重积分为例) k为常数 2.三重积分定义(与二重积分类似) 积分区域 体积微元 6.(估值定理)设 M,m 分别是 f (x,y) 在D上的最大值和最小值,则: 7.(中值定理)若 f (x,y) 在D上连续,则在D上至少存在一点 使得下式成立: 注:上述性质可以
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