ch4-7二阶常系数线性微分方程.ppt

福 州 大 学1 1. 解法: 只要连续积分 n 次即得通解 . 复习 特点:右端仅含有自变量 x 特点： 解法： 特点： 解法： Date 福 州 大 学2 二阶线性微分方程的标准形式 由线性微分方程解的结构知: 非齐次线性微分方程的通解 y = 对应齐次线性微分方程的通解 Y + 非齐次线性微分方程的一个特解 y* 二阶线性齐次微分方程 二阶线性非齐次微分方程 特点:方程左边关于 y, y 及 y 都是一次的 v v Date 福 州 大 学3 二阶线性齐次方程 定理1 注意: 定义:若在区间 I 上有常数， )( )( 2 1 xy xy 则称函数 )( 1 xy与)( 2 xy在 I 上线性无关. v v v Date 福 州 大 学4 第七节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二、二阶常系数非齐次线性微分方程 第四章 Date 福 州 大 学5 一、二阶常系数齐次线性微分方程 1、定义 n阶常系数线性微分方程的标准形式 二阶常系数齐次线性微分方程的标准形式 二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式 其中 p, q 为常数 Date 福 州 大 学6 2、二阶常系数齐次线性方程解法 -特征方程法 将其代入(1), 得 故有为(1)的特征方程 特征根 Euler指数法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定 其通解的方法称为特征方程法. Date 福 州 大 学7 (1)特征方程有两个不相等的实根 两个线性无关的特解为: 得齐次方程的通解为 特征根为 根据p2-4q 的值，可分三种情况： Date 福 州 大 学8 (2)特征方程有两个相等的实根 一特解为 得齐次方程的通解为 特征根为 ？ Date 福 州 大 学9 (3)特征方程有一对共轭复根 重新组合 得齐次方程的通解为 特征根为 Date 福 州 大 学10 二阶常系数齐次方程 求通解的一般步骤: (1) 写出相应的特征方程: (2) 求出特征根: (3) 根据特征根的不同情况,得到相应的通解. v 特征根的情况 通解的表达式 实根 21 r r 实根 21 r r = 复根b air= 2,1 xrxr eCeCy 21 21 += xr exCCy 2 )( 21 += )sincos( 21 xCxCey x bb a += Date 福 州 大 学11 解特征方程为 例1 解得 故所求通解为 解特征方程为 例2 解得 故所求通解为 Date 福 州 大 学12 解特征方程为 解得 故所求通解为 例3 Date 福 州 大 学13 微分方程定义 注意: 未知函数的导数(或微分)不能缺少！ 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. v 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数 称为微分方程的阶. v (与函数及其导数的几次方无关) 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数 称为微分方程的解. 微分方程的解 v 复习 Date 福 州 大 学14 微分方程的解的分类 (1)通解: 微分方程的解中含有独立的任意常 数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同. (2)特解：确定 通解中 任意常数后的解. v 齐次方程 解法 称为可分离变量的微分方程. 形如的方程v v 一阶线性齐次方程v Date 福 州 大 学15 利用公式应注意: 1. 方程应化为标准型 .正确选择 P(x) 和 Q(x) . 2. 对公式中的不定积分求解后不再加C . 3. e lnP(x) , e - lnP(x) 等要化简. 4. 公式右边括号内外都有“ln| . |”时，绝对值可去掉. 例: Date 福 州 大 学16 解法: 只要连续积分 n 次即得通解 . 特点: 右端仅含有自变量 x 特点： 解法： 特点： 解法： 则 v v v 不显含未知函数 y ， 但显含 x . 但显含 y . 方程不显含 x ， 特点： v 方程不显含 x与y Date 福 州 大 学17 二阶线性齐次方程 定理1 注意: 定义:若在区间 I 上有常数， )( )( 2 1 xy xy 则称函数 )( 1 xy与)( 2 xy在 I 上线性无关. v v v Date 福 州 大 学18 二阶常系数齐次方程 求通解的一般步骤: (1) 写出相应的特征方程: (2) 求出特征根: (3) 根据特征根的不同情况,得到相应的通解. v 特征根的情况 通解的表达式 实根 21 r r 实根 21 r r = 复根b air= 2,1 xrxr eCeCy 21 21 += xr exCCy 2 )( 21 += )sincos( 21 xCxCey x bb a += Date 福 州 大 学19 特征方程为 特征方程的根通解中的对应项 推广： 阶常系数齐次线性方程解法 (参见书P296) Date 福 州 大 学20 解特征方程为 解得 故所求通解为 例1 Date 福 州 大 学21 解特征方程为 解得 故所求通解为 例2 Date 福 州 大 学22 思考题解答 令则特征根 通解 思考题 求微分方程 的通解. Date 福 州 大 学23 二、二阶常系数非齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式 由线性微分方程解的结构知: 非齐次线性微分方程的通解 y = 对应齐次线性微分方程的通解 Y + 非齐次线性微分方程的一个特解 y* Date 福 州 大 学24 二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程 通解结构 f (x) 常见类型 难点：如何求特解？方法：待定系数法. 3.以上两种的混合型 Date 福 州 大 学25 1、 型 设非齐次方程特解为 代入原方程，得 以下确定Q(x)的次数 回顾 Date 福 州 大 学26 1、 型 设非齐次方程特解为 代入原方程，得 以下确定Q(x)的次数 方程两边必须是同次多项式 则Q(x) 与Pm (x)同次 则Q(x) 与Pm (x)同次 Date 福 州 大 学27 综上讨论 注意 上述结论可推广到 n 阶常系数 非齐次线性微分方程（k是重根次数）. 其特解可设为： 则Q(x) 与Pm (x)同次 即 Q(x) m+2次 设 Date 福 州 大 学28 综上讨论 其特解可设为： 0 0 0 特殊： 例1 y = ax+bx( ) Date 福 州 大 学29 例1 解 特征方程 特征根 对应的齐次方程的通解为 设原方程的特解为 对应齐次方程为 (技巧) Date 福 州 大 学30 原方程的一个特解为 故原方程的通解为 特解为 Date 福 州 大 学31 由解得 所以原方程满足初始条件的特解为 Date 福 州 大 学32 2、 型 利用欧拉公式 由情形1结果可设 可借助情形1 的结论 mm m Date 福 州 大 学33 注意可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程. 解的叠加原理 m m 2、 型 (特殊情形) 实系数多项式 Date 福 州 大 学34 解 例1 特征方程特征根 不是根 Date 福 州 大 学35 解 例2 对应齐次方程为 特征方程为 对应齐次方程通解为 特征根 Date 福 州 大 学36 Date 福 州 大 学37 3、小结 二阶常系数非齐次微分方程特解形式： (待定系数法) Date 福 州 大 学38 Date 福 州 大 学39 例3 解特征方程 特征根 对应的齐方的通解为 设原方程的特解为 混合型 Date 福 州 大 学40 由解得 Date 福 州 大 学41 故原方程的通解为 由 即 Date 福 州 大 学42 例4 解 (1) 由题设可得： 解此方程组，得 Date 福 州 大 学43 (2) 原方程为 由解的结构定理得方程的通解为 Date 福 州 大 学44 例5 Date 福 州 大 学45 1. 二阶常系数齐次方程 求通解的一般步骤: 小结 (1) 写出相应的特征方程: (2) 求出特征根: (3) 根据特征根的不同情况,得到相应的通解. 特征根的情况 通解的表达式 实根 21 r r 实根 21 r r = 复根b air= 2,1 xrxr eCeCy 21 21 += xr exCCy 2 )( 21 += )sincos( 21 xCxCey x bb a += Date 福 州 大 学46 特征方程为 特征方程的根通解中的对应项 推广： 阶常系数