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文档简介

一、单调性的判别法 （利用导数解决单调性问题） 定理 (2)函数的单调性是一个区间上的性质，要 用导数在这一区间上的符号来判定，而不能 用一点处的导数符号来判别一个区间上的单 调性 (1)将此定理中的闭区间换成其他各种区间 （包括无穷区间），结论仍成立。 注意： 即：区间内个别点导数为零,不影响区间的单 调性. 例如, 单调增加 函数图像与导数的关系： 对于某区间上的函数y = f(x)，导数为正，曲线上升； 导数为零，曲线不升不降（水平曲线）；导数为负， 曲线下降。 例1 解: 例2 解 解 练 习 函数单调增加. 问题:如上例，函数在定义区间上不是 单调的，但在各个部分区间上单调 定义:若函数在其定义域的某个区间内是 单调的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调 区间的分界点 方法 : 二、单调区间的求法 例3 解 单调区间为 例4 解 单调区间为 注意:导数不存在的点，有可能成为 单调区间的分界点。 说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, 求函数单调区间。 练 习 解 在-1,3内， 函数的定义域 利用单调性证明不等式， 也是我们常用的方法。 例5 证 设 三、曲线凹凸性与拐点 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧总是 位于任意切线的上 方 （向上）凹的 （向上）凸的 图形上任意弧总是 位于任意切线的下 方 （向上）凹的（向上）凸的 定义 四、曲线凹凸的判定 定理 例6 解 曲线在 为凸的 例7 解 注意到, 五、曲线的拐点及其求法 1、定 义 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 2、拐点的求法 方法1: 判定曲线的凹凸性 与求曲线的拐点的一般步骤为： (1) 求函数的二阶导数 ； (2) 令，解出全部实根， 并求出所有使二阶导数不存在的点； (3) 对步骤(2)中求出的每一个点，检查 其邻近左、右两侧 的符号，确定 曲线的凹凸区间和拐点. 例8 解 凹的凸的凹的 拐点拐点 例9 解 注意: 内容小结 1. 可导函数单调性判别 在 I 上单调递增 在 I 上单调递减 2.曲线凹凸与拐点的判别 + 拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点 思考题 思考题解答 例 练 习 确定函数
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