八年级下册数学勾股定理练习题

精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 1 / 23 八年级下册数学勾股定理练习题 一、基础达标 : 1. 下列说法正确的是 a、 b、 c 是 三边，则 a、 b、 c 是 三边，则 a、b、 c 是 三边， ?A?90?，则 a、b、 c 是 三边， ?C?90?，则 b、 c， 2. 三条边长分别是 a、则下列各式成立的是 A a?b?a?b?a?b?a2?b2? 如果 的两直角边长分别为 1， 2k，那么它的斜边长是 A、 2k+1C、 1D、 . 已知 a， b， c 为 满足 0，则它的形状为 直角三角形中一直角边的长为 9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为 A 121B 120 C 90D不能确定 ， 5， 13，高 12，则 周长为 A 42B 32C 4或 D 3 或 3. 直角三角形的面积为 S，斜边上的中线长为 d，则这个三角形周长为 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 2 / 23 2d d 8、在平面直角坐标系中，已知点 P 的坐标是，则 A： 3B： 4C： 5D： 9若 ， 56 4,则 A 1 B. 10已知 a、 b、 c 是三角形的三边长， 如果满足 2c?10?0 则三角形的形状是 A：底与边不相等的等腰三角形 B：等边三角形 C：钝角三角形 D：直角三角形 11斜边的边长为 17条直角边长为 8 12. 等腰三角形的腰长为 13，底边长为 10，则顶角的平分线为 . 13. 一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为 14一个三角形三边之比是 10:8:6，则按角分类它是 三角形 15. 一个三角形的三边之比为51213 ，它的周长为 60，则它的面积是 . 16. 在 ，斜边 ，则 _ 17若三角形的三个内角的比是 1:2:3，最短边长为1长边长为 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 3 / 23 2这个三角形三个角度数分别是，另外一边的平方 是 18如图，已知 ?C?90?， 5， 2，以直角边 B 这个半圆的面积是 19 一长方形的一边长为 3积为 12么它的一条对角线长 2 C A 是 二、综合发展 : 1如图，一个高 4m、宽 3要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长 2、有一个直角三角形纸片，两直角边 C=8将直角边 角平分线 叠，使它落在斜边与 合，你能求出 52025个三角形最长边上的高是多少？ 4如图，要修建一个育苗棚，棚高 h=3m，棚宽 a=4m，精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 4 / 23 棚的长为 12m，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？ B E A 5如图，有一只小鸟在一棵高 13m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树 12m，高 8立刻以 2m/s 的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？ 15 “ 中华人民共和国道路交通管理条例 ” 规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过 70km/一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检 测仪正前方 30m 处，过了 2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为 50m，这辆小汽车超速了吗？ 小汽车 小汽车 观测点 答案 : 一、基础达标 1. 解析 :利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 5 / 23 答案 : D. 2. 解析：本题考察三角形的三边关系和勾股定理 . 答案： B. 3 解析：设另一条直角边为 x，则斜边为利用勾股定理可得方程，可以求出 x然 后再求它的周长 . 答 案： C 4解析：解决本题关键是要画出图形来，作图时应注意高 形的外部，有两种情况，分别求解 . 答案： C. 222 5 解析 : 勾股定理得到： 17?8?15，另一条直角边是15， 1 ?15?8?60 所求直角三角形面积为 2答案 :0 6 解析：本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边 ,反过来也是成立 答案 :a2?b2?c， 直角，斜，直角 7 解析 :本题由边长之比是 10:8:可知满足勾股定理，即是直角三角形答案：直角 解析：由三角形的内角和定理知三个角的度数 ,断定是直角三角形答案： 30?、 60?、 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 6 / 23 90?， 3 222222 9 解析：由勾股定理知道： B?5?12?9，所以以直角边 为直径的半圆面积为 答案： 10 解析 :长方形面积长 宽，即 12 长 3 ，长 ?4，所以一条对角线长为 5 答案 ： 5 二、综合发展 11 解析：木条长的平方 =门高长的平方 +门宽长的平方 答案： 5m 222 12解析：因为 15?20?25，所以这三角形是直角三角形，设最长边上的高为 直角三角形面积关系，可得 1?15?20?1?25?x，x?12 答案： 12 2 13解析：透阳光最大面积是塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边的长是多少，可以借助 勾股定理求出 . 答案：在直 角三角形中，由勾股定理可得：直角三角精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 7 / 23 形的斜边长为 5m, 2 所以矩形塑料薄膜的面积是： 520=100 14解析：本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是 13m，也就是两树树梢之间的距离是 13m，两再利用时间关系式求解 . 答案： 15解析：本题和 14题相似，可以求出 利用速度等于路程除以时间后比较 0 米，时间是 2s，可得速度是 20m/s=72km/h 70km/h 答案：这辆小汽车超速了 八年级下册勾股定理全 章知识点和典型习题 一、基础知识： 勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a， b，斜边为 c，那么 a2?b2?c 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了 “ 勾三，股四，弦五 ” 形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 D 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 8 / 23 H 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 E 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 b 常见方法如下： A c C B 1 方法一： 4S?正方形 4?简可证 2 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三 ba c a b b 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 9 / 23 a a 角形的面积与小正方形面积的和为 S?4?ab?ab?c 大正方形面 2 积为 S?2a?2 B b 11 S 梯形 ?， S 梯形 ?2S?ab?简得证 222 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 已知直角三角形的任意两边长，求第三边在 ?C?90? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 10 / 23 ，则 c ， b ， a 知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量 关系 可运用勾股定理解决一些实际问题 如果三角形三边长 a， b， c 满足 a2?b2?么这个三角形是直角三角形，其中 c 为斜边 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过 “ 数转化为形 ” 来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和 a2?较长边的平方 比较，若它们相等时，以 a， b， c 为三边的三角形是直角三角形；若 a2?b2?，以 a， b， c 为三边的三角形是钝角三角形；若 a2?b2?，以 a， b， c 为三边的三角形是锐角三角形； 定理中 a， b， c 及 a2?b2?是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 a， b， c 满足 a2?c2?么以 a， b， c 为三边的三角形是直角三角形，但是 b 为斜边 勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 11 / 23 股数，即 a2?b2?， a， b， c 为正整数时，称 a， b， c 为一组勾股数 记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5； 6,8,10； 5,12,13； 7,24,25 等 用含字母的代数式表示 n 组勾股数： ,2n,； 2n?1,2n,2n?1m2?mn,m2?股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解 .勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论 C 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决常 B D 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 12 / 23 见图形： C A C A B D A 10、互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 二、经典例题精讲 题型一：直接考查勾股定理 例 ?C?90? 已知 ， 求 已知 7， 5，求 长分 析：直接应用勾股定理 a2?b2?： 0 详细解题步骤如下： 解：设正方形 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 13 / 23 的边长为 4a, 则 E=a,AF=a,a 在 ，D+=20 a 同理 a, 5a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 在 ， a+0a=25a=222 直角三角形，且 0. 注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。 题型四：利用勾股定理求线段长度 例题如图 4，已知长方形 C=10边 取一点 E，将 叠使点 D 恰好落在 上的点 F，求 解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 14 / 23 合理设元是 详细解题过程如下： 解：根据题意得 t0, 0E 设 CE= 则 F= x 在 由勾股定理得： F= 8+0， C 0 6=4 在 由勾股定理可得： E+ =x+64 16x+x=2+1x=3, 即 CE=：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。 题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直 例题如图 5，王师傅想要检测桌子的表面 是否垂直与 测得 0000样去验证 2 2 2 2 2 2 2 2 2 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 15 / 23 2 2 2 2 关键。 解析：由于实物一般比较大，长度不容易用直尺来方便测量。我们通常截取部分长度来验证。如图 4，矩形 截取 2 截取 结 量 如果 5,则 N=以 如果 MN=a15, 则 9+12=81+144=225, a225, 即9+12 a ，所以 A 不是直角。利用勾股定理解决实际问题 例题有一个传感器控制的灯，安装在门上方，何东西只要移至 5 米以内，灯就自动打开，一个身高 的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？ 解析：首先要弄清楚人走过 去，是头先距离灯 5 米还是脚先距离灯 5 米，可想而知应该是头先距离灯 5 米。转化为数学模型，如图所示， A 点表示控制灯， CC 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 16 / 23 头距离 A 有 5 米时，求 长度。已知 ,所以 米，由勾股定理，可计算 米 米的时候灯刚好打开。 题型六：旋转问题： 例 1、如图， 斜边，将 逆时针旋转后，能与 重合，若 ，求 的长。 变式 1：如图， P 是等边三角形 , 边长 . 分析：利用旋转变换，将 点 B 逆时针选择 60 ，将三条线段集中到同一个三角形中， 根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形 . 变式 2、如图， 等腰直角三角形， 0 ，E、 F 是 的点，且 5 ， 试探究 的关系，并说明理由 . 题型七：关于翻折问题 例 1、如图，矩形纸片 B=10C 上一点 ，将矩形纸片沿 叠，点 B 恰好落在 上的点 G 处，求 变式：如图， 中线， 5 ，把 C 落在点 C 的位置， ,求 的长 . 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 17 / 23 题型八：关于勾股定理在实际中的应用： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 新人教版八年级下册勾股定理典型例习题 一 、经典例题精讲 题型一：直接考查勾股定理 例 ， ?C?90? 已知 ， 求 已知 7， 5，求 长分析：直接应用勾股定理 a2?b2?： 0 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 18 / 23 解析：首先要弄清楚人走过去，是头先距离灯 5 米还是脚先距离灯 5 米，可想而知应该 是头先距离灯 5 米。转化为数学模型，如图所示， B CN 当头距离 A 有 5 米时，求 长度。已知 所以 米， 由勾股定理，可计算 米 米的时候灯刚好打开。 题型六：旋转问题： 例 1、如图， 直角三角形， 逆时针旋转后，能与 重合，若 ，求 长。 变式 1：如图， P 是等边三角形 , 边长 . 分析：利用旋转变换，将 点 0 ，将三条线段集中到同一个三角形 中， 根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形 . 变式 2、如图， 等腰直角三角形， 0 ，E、 F 是 5 ， 试探究 说明理由 . 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 19 / 23 题型七：关于翻折问题 例 1、如图，矩形纸片 B=10矩形纸片沿 叠，点 B 恰好落在 处，求 长 . 变式：如图， 中线， 5 ，把 C 落在点 C 的位置， ,求 的长 . 题型八：关于勾股定理在实际中的应用： 例 1、如图，公路 公路 P 点处交汇，点 60 米，点 A 到公路 0米，假使拖拉机行驶时， 周围 100 米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知 拖拉机的速度是 18 千米 /小时，那么学校受到影响的时间 为多少？ 题型九：关于最短性问题 例 5 、如右图 1 19，壁虎在一座底面半径为 2 米，高为 4精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 20 / 23 米的油罐的下底边沿 A 处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的 B 处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫， 为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从 背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问 壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫 ?变式：如图为一棱长为 3所有面都分为 9 个 小正方 形，其边长都是 1设一只蚂蚁每秒爬行 2它从下地面 A 点沿表面爬行至右侧面的 B 点，最少要花几秒钟？ 22 三、课后训练： 一、填空题 1如图，在高 2 米，坡角为 30 的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需 E 第 4 题图 第 3 题图 图 2种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为 高为 12 ，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出 ，问吸管要做 。 3已知：如图， ， C =0 ，点 O 为 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 21 / 23 的三条角平分线的交点， C ， C ， D、 E、 F 分别是垂足，且 点 O 到三边 在一棵树的 10 米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树