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目录 上页 下页 返回 结束 转化 可分离变量微分方程 第二节 解分离变量方程 可分离变量方程 目录 上页 下页 返回 结束 分离变量方程的解法: 设 y (x) 是方程的解, 两边积分, 得 则有恒等式 当G(y)与F(x) 可微且 G (y) g(y) 0 时, 的隐函数 y (x) 是的解. 则有 称为方程的隐式通解, 或通积分. 同样, 当 F (x) = f (x)0 时, 由确定的隐函数 x(y) 也是的解. 设左右两端的原函数分别为 G(y), F(x), 说明由确定 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 求微分方程的通解. 解: 分离变量得 两边积分 得 即 ( C 为任意常数 ) 或 说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解. ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ) 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 解初值问题 解: 分离变量得 两边积分得 即 由初始条件得 C = 1, ( C 为任意常数 ) 故所求特解为 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求下述微分方程的通解: 解: 令 则 故有 即 解得 ( C 为任意常数 ) 所求通解: 目录 上页 下页 返回 结束 练习: 解法 1 分离变量 即( C 0 ) 解法 2 故有 积分 ( C 为任意常数 ) 所求通解: 积分 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 成正比,求 解: 根据牛顿第二定律列方程 初始条件为 对方程分离变量, 然后积分 : 得 利用初始条件, 得 代入上式后化简, 得特解 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. t 足够大时 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 微分方程的概念 微分方程;定解条件; 2. 可分离变量方程的求解方法: 说明: 通解不一定是方程的全部解 . 有解 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 例如, 方程 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 . 解; 阶;通解; 特解 y = x 及 y = C 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 2) 根据物理规律列方程 3) 根据微量分析平衡关系列方程 (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件. (3) 求通解, 并根据定解条件确定特解. 3. 解微分方程应用题的方法和步骤 例5
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