D18连续性间断点(28).ppt

目录 上页 下页 返回 结束 二、 函数的间断点 一、 函数连续性的定义 第八节 函数的连续性与间断点 第一章 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 一、函数的连续性 1.函数的增量 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 2.连续的定义 定义 1 设函数 在内有定义, 如果当自变量 的增量趋向于零时,对应的函数的增量也趋向于 零,即或那末 就称函数在点连续,称为的连续点. . 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 可见 , 函数在点 定义2: 在的某邻域内有定义 , 则称函数 (1) 在点即 (2) 极限 (3) 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 ; 且 有定义 ,存在 ; 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例1 证 由定义2知 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 3.单侧连续 定理 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例2 解 右连续但不左连续 , 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连 续函数,或者说函数在该区间上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如, 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 证明函数 在内连续 . 证: 即 这说明在内连续 . 同样可证: 函数在内连续 . 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 在 在 二、 函数的间断点 (1) 函数 (2) 函数不存在; (3) 函数 存在 , 但 不连续 : 设在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 这样的点 之一, 函数 f (x) 在点 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且 称为间断点 . 在无定义 ; 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 间断点分类 : 第一类间断点: 及均存在 , 若称 若称 第二类间断点:及中至少一个不存在 , 称 若其中有一个为振荡,称 若其中有一个为 为可去间断点 . 为跳跃间断点 . 为无穷间断点 . 为振荡间断点 . 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 为其无穷间断点 . 为其振荡间断点 . 为可去间断点 . 例如: 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 显然 为其可去间断点 . (4) (5) 为其跳跃间断点 . 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 狄利克雷函数 在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点 . 仅在x=0处连续,其余各点处处间断. 注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点. 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 判断下列间断点类型: 跳跃间断点 无穷间断点 可去间断点 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 左连续右连续 第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 左右极限都存在 第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点 左右极限至少有一 个不存在 在点间断的类型 在点连续的等价形式 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 可去型 第一类间断点 跳跃型 o y x o y x 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 o y x 无穷型振荡型 第二类间断点 o y x 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 1. 讨论函数 x = 2 是第二类无穷间断点 . 间断点的类型. 2. 设时 提示: 为 连续函数. 答案: x = 1 是第一类可去间断点 , 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 练 习 题 目录 上页 下页 返回