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目录 上页 下页 返回 结束 第3节 一、最值定理 二、介值定理 闭区间上连续函数的性质 第二章 目录 上页 下页 返回 结束 定义1 设函数f在D上有定义。若 使对 有 一、最值定理 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 定理1.在闭区间上连续的函数 即: 设 则使 值和最小值. 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大 (证明略) 点 , 连续函数的图像是一条连续而不间断的曲线 目录 上页 下页 返回 结束 例如, 无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如, 目录 上页 下页 返回 结束 二、介值定理 由定理 1 可知有证: 设 上有界 . 定理4. ( 零点定理 ) 至少有一点且 使 ( 证明略 ) 定理2. 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 目录 上页 下页 返回 结束 定理3. ( 介值定理 ) 设 且 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 一点 证: 作辅助函数 则 且 故由零点定理知, 至少有一点使 即 推论: 在闭区间上的连续函数 使 至少有 必取得介于最小值与 最大值之间的任何值 . 目录 上页 下页 返回 结束 例. 证明方程 一个根 . 证: 显然又 故据零点定理, 至少存在一点使即 说明: 内必有方程的根 ; 取的中点 内必有方程的根 ;可用此法求近似根. 二分法 在区间内至少有 则 则 内容小结 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 在 上达到最大值与最小值; 上可取最大与最小值之间的任何值; 4. 当时,使必存在 上有界; 在 在 目录 上页 下页 返回 结束 则 证明至少存在 使 提示: 令 则易证 设 作业 P44 2 ; 3 一点 习题课 思考与练习 目录 上页 下页 返回 结束 备用题 至少有一个不超过 4 的 证： 证明
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