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数学分析 第九章 数项级数 第 一 节 数项级数的收敛性 一、数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质 重点：数项级数收敛的定义与性质 数学分析 一、数项级数的概念 1. 计算圆的面积 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 （一）问题的提出 数学分析 （二）级数的概念 1. 级数的定义: (常数项)无穷级数 一般项 部分和数列 级数的部分和 数学分析 由此看出级数可表示一个确定的数，那么 是否所有的级数都对应一个确定的数呢？ 数学分析 2. 历史上的例子 数学分析 事实上，十七、十八世纪由于自然 科学的飞速发展，当时大量的级数被广 泛利用。但在十八世纪之前，数学家都 不加辨别地认定一个级数就是一个确定 的数，因此就出现了上面的错误。正因 如此，促使一大批著名的数学家开始研 究级数，提出了级数收敛的概念，以及 判断级数收敛的方法等。其中高斯、欧 拉、贝努利、柯西、阿贝尔、达朗贝尔 及傅立叶等都做出过重大的贡献。 数学分析 3. 级数的收敛与发散: 数学分析 余项 数学分析 解 例 1 数学分析 收敛 发散 发散 发散 综上 数学分析 解 例 2 数学分析 数学分析 证 例 3 数学分析 二、基本性质 结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 数学分析 证明 类似地可以证明在级数前面加上有限项不影 响级数的敛散性. 数学分析 证明 数学分析 注意 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 收敛 发散 推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原来级 数也发散. 数学分析 证明 性质5 级数收敛的必要条件: 数学分析 注意 1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散; 发散 2.必要条件不充分. 数学分析 讨论1 数学分析 8项 4项 2项 2项 项 由性质4推论,调和级数发散. 讨论2 数学分析 小结 数项级数的基本概念 基本审敛法 数学分析 思考题 数学分析
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