D第六章多元函数的微积分.ppt

第第6 6章章 多元函数微积分多元函数微积分 第第1 1节节 多元函数的概念多元函数的概念 第第2 2节节 多元函数的偏导数和全微分多元函数的偏导数和全微分 第第3 3节节 多元复合函数、隐函数的求导法则多元复合函数、隐函数的求导法则 第第4 4节节 多元函数微分法的应用多元函数微分法的应用 第第5 5节节 二重积分的概念二重积分的概念 第第6 6节节 二重积分的计算二重积分的计算 第第7 7节节 二重积分的应用二重积分的应用 6.1 6.1 多元函数的概念多元函数的概念 二元函数的定义二元函数的定义 二元函数的几何意义二元函数的几何意义 二元函数的极限二元函数的极限 二元函数的连续性二元函数的连续性 小结小结 思考与练习思考与练习 定义1 的函数值，函数值的总体称为函数的值域。 类似地，可定义三元函数及其他多元函数。 n n 二元函数的定义二元函数的定义 例 例2 一个有火炉的房间内,在同一时刻的温度分布 唯一的温度 类似的例子还可举出很多,今后我们主要研究二元函数。 一般地讲，二元函数的几何意义表示空间直角坐标系中的 一个曲面。 n n 二元函数的几何意义二元函数的几何意义 （2） 二元函数 z=f (x,y) 的图形 通常是一张曲面（函数曲面）. n n 二元函数的极限二元函数的极限 小结： （） （） 例 求证 证明 由于平面上由一点到另一点有无数条路线，因此二元函数 性质 （最大值和最小值定理） n n 二元函数的连续性二元函数的连续性 性质 （零点定理） 性质 （有界性定理） 性质 （介值定理） 例 设 解 因此 小结： 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的所谓定义区域， 是指包含在定义域内的区域或闭区域 由多元初等函数的连续性，如果要求它在点 n n 思考题思考题: : 一元函数连续和二元函数连续的区别与联系。一元函数连续和二元函数连续的区别与联系。 上 页首 页下 页尾 页 6.2 6.2 多元函数的偏导数和全微分多元函数的偏导数和全微分 偏导数的概念偏导数的概念 偏导数的几何意义偏导数的几何意义 偏导数与连续的关系偏导数与连续的关系 小结小结 思考与练习思考与练习 高阶偏导数高阶偏导数 全微分的概念和应用（未做）全微分的概念和应用（未做） 上 页首 页下 页尾 页 n n 偏导数的概念偏导数的概念 上 页首 页下 页尾 页 同理,如果极限 导数,记作 上 页首 页下 页尾 页 偏导函数,简称偏导数,记作 上 页首 页下 页尾 页 解 根据偏导数的定义可知,求多元函数关于某个自变量的偏导数, 并不需要新的方法,只需将其他自变量看作常数,仅对一个自变量求 导,因此,一元函数的求导法则和求导公式,对求多元函数的偏导数仍 然适用. 例1 上 页首 页下 页尾 页 例2 解 所以 上 页首 页下 页尾 页 例3 解 上 页首 页下 页尾 页 意义. n n 偏导数的几何意义偏导数的几何意义 上 页首 页下 页尾 页 如下图所示 上 页首 页下 页尾 页 例如 n n 偏导数与连续的关系偏导数与连续的关系 上 页首 页下 页尾 页 注注: : 偏导数存在偏导数存在与连续的区别与连续的区别 (1)(1)偏导数存在，不一定连续；偏导数存在，不一定连续； (2)(2)连续，不一定存在偏导数；连续，不一定存在偏导数； 上 页首 页下 页尾 页 高阶偏导数可定义为相应低一阶偏导数的偏导数.例如设 一般来说,这两个偏导数还是 可定义二元函数的二阶偏导数如下 n n 高阶偏导数高阶偏导数 上 页首 页下 页尾 页 上 页首 页下 页尾 页 例 4 解 上 页首 页下 页尾 页 二阶以上的偏导数称为高阶偏导数 上 页首 页下 页尾 页 例5 解 上 页首 页下 页尾 页 上述例子中二阶混合偏导数都是相等的,但对许多二元函数 来说,它们的二阶混合偏导数并不相等,也就是说两者相等是要有 条件的. 为此,给出下面的定理: 定理6.1 相等. 例6 上 页首 页下 页尾 页 解 因为 所以 n n 小结：小结： 在二阶偏导数连续的情况下，混合偏导数的最终值和求导在二阶偏导数连续的情况下，混合偏导数的最终值和求导 次序无关。次序无关。 上 页首 页下 页尾 页 6.3 6.3 多元函数复合函数、隐函数的求导法则多元函数复合函数、隐函数的求导法则 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 隐函数的偏导数求法隐函数的偏导数求法 小结小结 思考与练习思考与练习 上 页首 页下 页尾 页 定理6.5 n n 多元复合函数求导法则多元复合函数求导法则 上 页首 页下 页尾 页 证明 上 页首 页下 页尾 页 上 页首 页下 页尾 页 所以有 完全类似地可以证明第二个等式。 下面再介绍一特殊情形。 上 页首 页下 页尾 页 另外，对于自变量或中间变量多于两个的情形，也有类似 则 上 页首 页下 页尾 页 （1） 搞清函数的复合关系； （2）对某个自变量求偏导数，应注意要经过一切 有关的中间变量而归结到该自变量。 例1 解 注意： 上 页首 页下 页尾 页 例2 解 上 页首 页下 页尾 页 n n 隐函数的偏导数求法隐函数的偏导数求法 上 页首 页下 页尾 页 同理可证 定理6.6（隐函数存在定理） 上 页首 页下 页尾 页 并有 注意 例3 解 上 页首 页下 页尾 页 例4 解 上 页首 页下 页尾 页 应用上面公式，得 上 页首 页下 页尾 页 6.4 6.4 多元函数微分法的应用多元函数微分法的应用 在几何上的应用在几何上的应用 二元函数极值的求法二元函数极值的求法 小结小结 思考与练习思考与练习 上 页首 页下 页尾 页 1.空间曲线的切线与法平面 n n 在几何上的应用在几何上的应用 上 页首 页下 页尾 页 即 上 页首 页下 页尾 页 例1 解 上 页首 页下 页尾 页 于是，切线方程为 法平面方程为 2.曲面的切平面方程与法线方程 为 上 页首 页下 页尾 页 上 页首 页下 页尾 页 例2 解 或 法线方程为 上 页首 页下 页尾 页 1、二元函数的极值 二元函数的极值问题，一般可以利用偏导数来解决。 定理6.7(极值存在必要条件) 使 n n 二元函数极值的求法二元函数极值的求法 上 页首 页下 页尾 页 定理6.8（极值存在充分条件） 令 上 页首 页下 页尾 页 第一步 第二步 第三步 上 页首 页下 页尾 页 例3 解（1）求驻点 解方程组 （2）判断驻点是否极值点， 若是，说明取得极值情况 又由于 上 页首 页下 页尾 页 2.条件极值与拉格朗日乘数法 在前面所讨论的极值中，除对自变量给出定义域外，并 无其它条件限制，我们把这一类极值称为无条件极值，而把 对自变量还需附加其他条件的极值问题称为条件极值。条件 条件极值问题有如下两种解法。 方法1 例4 解 上 页首 页下 页尾 页 由一元函数极值存在的必要条件，得 所以 方法2 （拉格朗日数乘法） 上 页首 页下 页尾 页 这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。 至于如何确定所求得的点是否为极值点，是极大值点还 是极小值点，在实