《高等数学课件习题》PPT课件.ppt

主要内容 平面点集 和区域 多元函数 的极限 多元函数 连续的概念 极限运算 多元连续函 数的性质 多元函数概念 全微分 的应用 高阶偏导数 隐函数 求导法则 复合函数 求导法则 全微分形式 的不变性 方向导数 全微分 概念 偏导数 概念 微分法在 几何上的应用 多元函数 的极值 二元函数的极限 说明： （1）定义中 的方式是任意的； （2）二元函数的极限也叫二重极限 （3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似 （4）二重极限的几何意义： 0，P0 的去心 邻域 U(P0, )。 在 U(P0, ) 内，函数 的图形总在平面 及之间。 确定极限不存在的方法： 二元函数的连续性 定义 定义 注意：二元函数可能在某些孤立点处间断，也可能 在曲线上的所有点处均间断。 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” ： 闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上 至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在 D上取得两个不同的函数值，则它在D上取 得介于这两值之间的任何值至少一次 （1）最大值和最小值定理 （2）介值定理 偏导数的定义 只要把 x 之外的其他自变量暂时看成 常量，对 x 求导数即可。 只要把 y 之外的其他自变量暂时看成 常量，对 y 求导数即可。 注意： 有关偏导数的几点说明： 、 、 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求 ； 混合偏导 高阶偏导数 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. ( 注意：混合偏导数相等的条件) 全微分的定义 多元函数连续、可导、可微的关系 函数可微分 函数连续 偏导数连续 偏导数存在 -全微分形式不变性 u v 1、z x 型 复合函数求导法则 以上公式中的导数 称为全导数全导数. . 特殊地其中 2、z u v x y 型 隐函数的求导法则 3. 常用方 程两边 求导法 微分法在几何上的应用 一、空间曲线的切线与法平面 1.设空间曲线的方程 曲线在M0 点的切向量： 过 M0 点处的法平面方程： 过M0 点的切线方程 ： 法平面方程为： 2.空间曲线方程为 曲线在 M0(x0, y0, z0) 点处的切向量 切线方程 ： 法平面方程为： 切线方程 ： 曲线在 M0(x0, y0, z0) 点处的切向量 3.空间曲线方程为 ( 方程两边求导 法求 二、曲面的切平面与法线 1. 若曲面方程为 曲面在点M(x0, y0, z0) 的切平面方程 法线方程为 曲面在 M (x0, y0, z0) 处的法向量 2. 若曲面方程为 曲面在M处的切平面方程 曲面在M处的法线方程 曲面在 M (x0, y0, z0) 处的法向量 方向导数 定义 记为 梯度 三元函数的梯度 多元函数的极值 驻点极值点注意 ： 条件极值拉格朗日乘数法 求解方程组 第六章 习题课 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、 基本概念 二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用 多元函数微分学 一、 基本概念 连续性 偏导数存在 方向导数存在 可微性 1. 多元函数的定义、极限 、连续 定义域及对应规律 判断极限不存在及求极限的方法 函数的连续性及其性质 2. 几个基本概念的关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 讨论二重极限 解法1 解法2 令 解法3 令 时, 下列算法是否正确? 分析: 解法1 解法2 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 此时极限为 1 . 第二步 未考虑分母变化的所有情况, 解法3 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 此法忽略了 的任意性, 极限不存在 ! 由以上分析可见, 三种解法都不对, 因为都不能保证 自变量在定义域内以任意方式趋于原点 . 特别要注意, 在某些情况下可以利用极坐标求极限, 但要注意在定义域内 r , 的变化应该是任意的. 同时还可看到, 本题极限实际上不存在 . 提示: 利用 故f 在 (0,0) 连续; 知 在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 . 2. 证明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 而 所以 f 在点(0,0)不可微 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 已知 求出 的表达式. 解法1 令 即 解法2 以下与解法1 相同. 则 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、多元函数微分法 显示结构 隐式结构 1. 分析复合结构(画变量关系图) 自变量个数 = 变量总个数 方程总个数 自变量与因变量由所求对象判定 2. 正确使用求导法则 “分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导” 注意正确使用求导符号 3. 利用一阶微分形式不变性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 设其中 f 与F分别 具 解法1 方程两边对 x 求导, 得 有一阶导数或偏导数, 求 (99 考研) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法2 方程两边求微分, 得 化简 消去 即可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3.设有二阶连续偏导数, 且 求 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习题 1. 设函数 f 二阶连续可微, 求下列函数的二阶偏导数 2. 同济(下) P73 题12 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解答提示: 第 1 题 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设求 提示: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用行列式解出 du, dv ： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入即得 代入即得 有连续的一阶偏导数 , 及 分别由下两式确定 求 又函数 答案: ( 2001考研 ） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 设 三、多元函数微学的应用 1.在几何中的应用 求曲线在切线及法平面 (关键: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量) 2. 极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法) 求解最值问题 3. 在微分方程变形等中的应用 最小二乘法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4.在第一卦限作椭球面 的切平面, 使其在三坐标轴上的截距的平方和最小, 并求切点. 解: 设切点为 则切平面的法向量为 即 切平面方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 问题归结为求 在条件下的条件极值问题 . 设拉格朗日函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 切平面在三坐标轴上的截距为 令 由实际意义可知 为所求切点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 唯一驻点 例5. 求旋转抛物面与平面 之间的最短距离. 解：设为抛物面上任一点，则 P 的距离为 问题归结为 约束条件: 目标函数: 作拉氏函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 到平面 令 解此方程组得唯一驻点 由实际意义最小值存在 , 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 上求一点 , 使该点处的法线垂直于 练习题： 1. 在曲面 并写出该法线方程 . 提示: 设所求点为则法线方程为 利用 得 平面 法线垂直于平面 点在曲面上 机动 目录 上页 下页 返回 结束