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文档简介

微分方程 第七章 积分问题 微分方程问题 推广 目录 上页 下页 返回 结束 主要内容： 第一节 微分方程的基本概念 第二节 可分离变量的微分方程 第三节 齐次方程 第四节 一阶线性方程 第五节 可降阶的高阶微分方程 第六节 高阶线性微分方程及其解的结构 第七节 二阶常系数齐次线性微分方程 第八节 二阶常系数非齐次线性微分方程 一阶高阶 微分方程的基本概念 第一节 微分方程的基本概念 引例 几何问题 物理问题 第七章 引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的 解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式: (C为任意常数) 由 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 由 得 切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 引例2. 列车在平直路上以的速度行驶, 获得加速度 求制动后列车的运动规律. 解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 已知 由前一式两次积分, 可得 利用后两式可得 因此所求运动规律为 说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 . 即求 s = s (t) . 制动时 常微分方程 偏微分方程 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 (本章内容) ( n 阶显式微分方程) 微分方程的基本概念 一般地 , n 阶常微分方程的形式是 的阶. 分类 或 使方程成为恒等式的函数. 通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程 确定通解中任意常数的条件 . n 阶方程的初始条件(或初值条件): 的阶数相同 . 特解 引例2引例1 通解: 特解: 微分方程的解 不含任意常数的解, 初始条件 其图形称为积分曲线 . 初值问题 目录 上页 下页 返回 结束 下列函数只有( )可能是方程 的通解。 例1. 验证函数 是微分方程 的通解, 的特解 . 解: 这说明是方程的解 . 是两个独立的任意常数, 利用初始条件易得: 故所求特解为 故它是方程的通解. 并求满足初始条件 求所满足的微分方程 . 例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 解: 如图所示, 令 Y = 0
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