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文档简介

3 有理函数和可化为有理函数的不定积分 二、三角函数有理式的积分法 一、有理函数的积分法 三、简单无理函数的积分法 2、有理函数的分类： 一、有理函数的积分法 真分式； 假分式； 1、有理函数的定义； 由两个多项式函数的商所表示的函数称为有理函数。 3、有理函数积分法 （2）分母中因式 ，对应的部分分式为 有理真分式 化为部分分式之和的步骤： 特殊地：部分分式为 （3）分母中因式 ，对应的部分 分式为 特殊地：部分分式为 例1 比较系数 （比较系数法） 或 （赋值法） 令令 例2 （综合法） 说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 现三类情况： （A）多项式； 前两类易求，现讨论第三类积分 令 可求！ 则 记 这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数. 结论 有理函数的原函数都是初等函数. 例3 （综合法） 例4 注 （1）有理函数的原函数都是初等函数； 有理函数的积分一定可以“积出来”； （2）有理函数的积分总可以“程序化地 ”求出来； （3）对具体的有理函数的积分可能有特 定的简便求法。 例5 例5 解法2 1、三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成 的函数三角函数有理式可记为 二、三角函数有理式的积分 2、三角有理式的积分法： 令万能代换公式： 例6 注（1）用万能代换一定能将三角函数有理式的积分 化为有理函数的积分； （2）万能代换不一定是最好的； 例7 求 解一 解二 解三 解四 解五 解六万能置换 例8 例9 有理函数的积分. 三、简单无理函数的积分 1、 例10 求 解 令 例11 例12 注 例13 2、 保证含根式。 故只需积分 则上述积分都化成有理式积分了。 例14 显然，积分的过程比微分的过程要复杂的 多，一个可微的初等函数，按照微分法总是 可以求出其微分的，但即使是很简单的初等 函数也未必能用初等函数写出其不定积分。 下列函数的不定积分就不能写成初等函数（ 尽管我们知道其不定积分是存在的）： （3）一些简单无理式的“程序化”积分法. （1）有理式的“程序化”积分法； （2）三角有理式的“程序化”积分法； （具体三角有理式可能有其特定的简便积分法；用“ 万能代换”之前应先考虑是否有更简便的方法） 四、小结 （具体有理
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