《数学二重积分》PPT课件.ppt

* 1 1 第第12.112.1节节 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 二. 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的关系 * 2 2 复习复习 一.对弧长的曲线积分的概念与性质 x y o A B L 二. 对弧长曲线积分的计算 法 把曲线的方程带入曲线积分 三、应 用 * 3 3 第一节第一节 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 引例 变力沿曲线所作的功. x y o A B L 常力沿直线作功： AB F 的作用, 设L为xoy面内的光滑曲线弧,质点从A向B 移动时受到力 变力所做的功. 求质点从A点沿曲线弧L移动到 点B时， 由于此时F是变力，上式不能直接应用。 * 4 4 x y o A B 令 为最大弧长，则 将曲线 L任意分割成 n 小段， * 5 5 定义 设L为 xoy 面的从点A到点B的一条有向光滑曲线弧， 记 任取 令 为最大弧段长度. 若极限 存在,则称此极限值为函数 在有向曲 线L上对坐标 x 的曲线积分. 即 类似地,称为函数 在有向 曲线L上对坐标 y 的曲线积分. 在L上有界. 用点把L任意分割成n个有向函数 小弧段 记作: 被积函数 L 积分弧段 * 6 6 简记作： 可简记作: 注可以证明:当在有向曲线弧L上连续时, 曲线积分存在.对坐标的 推广 三元函数沿空间有向曲线弧对坐标的曲线积分. * 7 7 性质 (1). 设L是有向曲线弧, -L是与L反向的有向曲线弧,则 即：对坐标的曲线积分具有方向性. (2). 设有向曲线弧 L是由有向曲线弧合并而成 即：对坐标的曲线积分关于积分弧段具有可加性. 则 即 * 8 8 二. 对坐标的曲线积分的计算法 定理 设曲线弧 由参数方程 给出，且满足下列条件： （1）L的起点A及终点B分别对应参数 及 （3）当参数 由 变到 时，点 描出有向曲线弧L; （4） 函数在 L上连续，则 下限起点；上限终点 （2）函数 为端点的闭区间上具有一阶连续在以 且导数, 把曲线的方程带入曲线积分 * 9 9 在 L上取一系列点： 它们对应于单调变化的参数值： 同理 证 * 1010 若曲线L由方程给出，可视为参数式 若曲线L由方程给出，可视为参数式 特别地： 下限 a 起点，上限 b 终点。 下限 c 起点，上限 d 终点。 * 1111 推广 空间有向光滑曲线由参数方程 给出，则 下限 起点，上限 终点 * 1212 例1 计算其中L为抛物线上从点到点 的一段弧. x y o A B 解 例2 计算 L为椭圆 上从点 在x轴上方的曲线弧. AB y x 解 * 1313 例3 计算,其中L 为： (1) 半径为 a , 圆心为原点的上半圆周(逆时针方向)； (2)从点A(a,0 )沿 x 轴到点B(-a,0)的直线段. AB y x (1)解 * 1414 例4 计算 其中L为： (1)抛物线 x y o (1)解 * 1515 直线段AB的方程为: 化为参数式: 例5 计算 解 * 1616 三、两类曲线积分之间的关系 其中，称为有向曲线弧 L上点 处切线向量的方向角. 类似,空间两类曲线积分之间的关系: 其中为空间有向曲线弧 上点处切向