北大随机过程课件：泊松过程.ppt

泊松过程,第七讲,2019/2/2,2019/2/2,内容,基本概念 泊松过程的分布特征 泊松过程的统计特征 泊松分布的相关问题,2019/2/2,基本概念,计数过程 独立增量过程 平稳增量计数过程 泊松过程,2019/2/2,基本概念-计数过程,计数过程 定义：计数过程 在(0, t)内出现事件A的总数所组成的过 程 N(t), t0 称为计数过程.,2019/2/2,基本概念-计数过程,独立增量过程 定义：独立增量过程 如果在不相交的时间间隔内出现事件 A的次数是相互统计独立的则A事件的计数 过程为独立增量过程.,2019/2/2,基本概念-计数过程,平稳增量计数过程 定义：平稳（齐次）增量计数过程 在时间间隔(t, t+s)内出现事件A的次数 N(t+s)-N(t)仅与s有关而与t无关，则称N(t) 为平稳增量计数过程.,2019/2/2,基本概念-泊松过程,泊松过程为满足下列假设的计数过程: 1. 从t=0起开始观察事件，即N(0)=0； 2. 该过程是独立增量过程； 3. 该过程为平稳增量过程； 4. 在(t，t+t)内出现一个事件的概率为 t+ o(t)(当t0时)， 为一常数；在(t，t+t) 内出现事件二次以及二次以上的概率为o(t), 即 PN(t+ t)-N(t) 2=o(t)；,2019/2/2,泊松过程,泊松过程 泊松过程递推微分方程 泊松过程母函数 泊松分布的几个问题 非齐次泊松过程 复合泊松过程 过滤泊松过程,2019/2/2,齐次泊松过程的递推微分方程,泊松过程的分布特征,2019/2/2,泊松过程的分布特征,齐次泊松过程的递推微分方程 其中,2019/2/2,泊松过程的分布特征,齐次泊松过程的递推微分方程 方程的解,2019/2/2,泊松过程的分布特征,泊松分布的母函数,2019/2/2,泊松过程的统计特征,泊松过程的均值:,2019/2/2,泊松过程的统计特征,泊松过程的均值:,2019/2/2,泊松分布相关的问题,(1). 泊松过程N(t), t0的第一个事件到达时间t的概率密度分布. 即： 内无到达， 内有一个到达。,2019/2/2,泊松分布相关的问题,(2). 泊松过程N(t), t0的各次事件间的时间间隔分布. 设各次事件间的时间间隔记为 则,2019/2/2,泊松分布相关的问题,(3). 泊松过程N(t), t0的第n个事件到达时间t的概率密度分布 . 即： 到达n-1个， 内有一个到达。,2019/2/2,泊松分布相关的问题,(4). 泊松过程N(t), t0在（0,t）内有一个事件出现，它的到达时间s的概率密度分布.,2019/2/2,泊松分布相关的问题,(5).有两个相互独立的泊松过程N1(t), t0及 N2(t), t0，它们在单位时间内出现事件的平 均数分别是1 、2，设x，y分别是两个过程出 现第一次事件的时刻，求第一个过程的第一个 事件先于第二个过程的第一个事件的概率，即 Pr xy。,2019/2/2,泊松分布相关的问题,(5). (续),2019/2/2,泊松分布相关的问题,(5).有两个相互独立的泊松过程N1(t), t0及 N2(t), t0，它们在单位时间内出现事件的平 均数分别是1 、2 ，设t1k是第一过程出现第k 次事件的时刻，t21是第二过程出现第一次事件 的时刻，求第一个过程的第k个事件先于第二 个过程的第一个事件的概率，即Pr t1k t21 。,2019/2/2,泊松分布相关的问题,(5).(续),2019/2/2,泊松分布相关的问题,(6). 泊松过程的和 如果 是参数分别为 的相互的独立泊松过程，则他们的和 是参数为 的泊松过程,2019/2/2,泊松分布相关的问题,(7). 泊松过程的差 如果 是参数分别为 的相互的独立泊松过程，则他们的和 是否为泊松过程?,2019/2/2,非齐次泊松过程,定义： 设有一随机的计数过程 N(t),t 0 满足下列假设： 1. N(0)=0 2. N(t),t 0是一独立增量过程 3. PN(t+t)-N(t) 2=o(t) 4. PN(t+t)-N(t) =1= (t)t+o(t) 则称它为非齐次泊松过程.,2019/2/2,非齐次泊松过程举例,一酒店，每日8点开始营业，从早8:00 到11:00平均顾客到达率线性增加，在8:00 顾客平均到达率为5人/小时，11:00到达率 最高峰20人/小时，从上午11:00到下午1:00 平均顾客到达率不变，为20人/小时。从下 午1:00到5:00顾客到达率线性下降，到下午5:00顾客到达率为12人/小时。,2019/2/2,非齐次泊松过程举例,2019/2/2,非齐次泊松过程举例,假设不相交叠的时间间隔内到达商店的 顾客数是相互统计独立的 ，问在上午8:30 9:30间无顾客到达商店的概率是多少？ 在这段时间内到达商店顾客数学期望是多 少？,2019/2/2,复合泊松过程,定义： 设有泊松过程 N(t),t 0 和一族独立同分布 随机变量 Yn ，n=1，2，3，且 N(t) 和 Yn 也是相互统计独立的. 设随机过程 则称 X(t) 是复合泊松过程.,2019/2/2,复合泊松过程举例,设移民到某地区的户数是一泊松过程，平 均每周有两户定居，即2