《重积分的计算上》PPT课件.ppt

1/26 微积分微积分九九 Calculation of double integral 微 积 分 电 子 教 案 三、二重积分的应用 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 3/26 微积分微积分九九 X型区域D： 积分区域表示法： Y型区域D： 4/26 微积分微积分九九 截面（曲边梯形）的面积 用区间a，b内任一点x 处的截面面积： 1、积分区域为X型： 1.2、直角坐标系下二重积分的计算公式 5/26 微积分微积分九九 区间x，x+dx上对应的体积微元： 整个曲顶柱体的体积： 6/26 微积分微积分九九 X型区域对应的二重积分计算公式。 二重积分的计算可以通过计算两次定积分来完成 ：在先进行的定积分 中，y是 积分变量，而x是作为常数对待，计算的结果一般 是x的函数；然后以第一次积分的结果作为被积函 数，在区间a，b上进行第二次积分。 二重积分化成“二次积分”或“累次积分”。 7/26 微积分微积分九九 X型区域对应的二重积分计算公式通常记为： 8/26 微积分微积分九九 2、积分区域为Y型： 类似可得Y型区域的二重积分计算公式： 9/26 微积分微积分九九 X型区域对应的二重积分计算公式为： Y型区域对应的二重积分计算公式为： 计算二重积分要先: 定区域类型, 定积分次序, 定上下限. 10/26 微积分微积分九九 例1 化二重积分 其中D是由x =0、 y =1及y =x围成的平面区域。 解：(1)将D表示为 X型区域: 为两种次序的二次积分 (2)将D表示为 Y型区域: 11/26 微积分微积分九九 例2 解： 交换积分次序后 12/26 微积分微积分九九 又例 解： 交换积分次序 13/26 微积分微积分九九 例3 解： D是由 y =x2及y = x 围成,分别对 14/26 微积分微积分九九 例3 解： D是由 y =x2及y = x 围成,分别对 15/26 微积分微积分九九 解： 例4D由y = x、 y = 1/x及x =2围成. 16/26 微积分微积分九九 解：如图 练习: D由x =1, x =2,y = 0, y = 1围成. 矩形区域 17/26 微积分微积分九九 例5 证明：若积分区域D为矩形区域，且被积函 数可以分离为x与y两个单一变量函数的乘积，即 f(x,y)=f 1(x)f2(y),则有： ab c d o x y D 证明： 18/26 微积分微积分九九 例如 已知 ,则 19/26 微积分微积分九九 解： 例6 设D由y = x, y = 1及x =0围成, 20/26 微积分微积分九九 21/26 微积分微积分九九 解：积分区域如图 例7 D由 x = 1, y =0 及y = 1围成. 22/26 微积分微积分九九 23/26 微积分微积分九九 2.1、极坐标系的建立 直角坐标系的建立,是用 两组坐标线构造网络 极坐标系的建立,是用 一组同心圆,一组射线 构造网络 O极点 Or极轴 q 极角 r极径 24/26 微积分微积分九九 2.1、极坐标与直角坐标的关系： r x=rcosq y=rsinq 从(x,y)到(r,q)变换公式为 : r2=x2+y2 从(r,q )到(x,y)变换公式为 : (r,q ) x y P(x,y) . x y O 25/26 微积分微积分九九 2.3、平面曲线的极坐标表示法 圆的方程 x2+y2 =a2(a是常数)即 x2+y2 =2ax 即 圆心(a,0), 半径a 圆心(0,0), 半径a. x y O q r a x y O q r 2a (a,0) x2+y2 =2ay 即 圆心(0,a)