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文档简介

一、三重积分的概念 二、重积分的计算 三、三重积分的换元 四、简单应用 1 一、三重积分的概念 设三元函数 在有界闭体V有定义， 用分法T将V分成n个小体 设它们的体积分别是 ,在小体 上任取一点作和 称为函数 在体V的积分和。 令 2 若当 时，三元函数 在V 的积分和存在极限J(数J与分法T无关，也与 点 的取法无关)，即 则称函数 在体V可积，J是函数 在体V的三重积分，记为 或 3 其中V称为积分区域， 称为被积函 数,dV 或dxdydz称为体积微元 。 三重积分的几何意义 设被积函数 则区域V 的体积为 设有界体 上每一点的密度是 则 的质量为 4 二、三重积分的计算 1.直角坐标系中将三重积分化为三次积分 设积分区域V为 5 如 图， 过点 闭区域V在xoy平面的投影为闭区域D. 6 再计算 得 则 注 相交不多两点情形. 7 表示当 固定时, 对 积分, 的变化由 到 其次,当 固定时,对 积分. 即 8 最后对 积分, 的变化从 到 . 即 的变化从 到 . 9 x 0 z y z=z2(x,y) I = P D z=z1(x,y) 这就化为一个这就化为一个 定积分和一个定积分和一个 二重积分的运算二重积分的运算 10 例1 计算平面 与 所围成的四面体的体积. 例2 计算三重积分 ， 上半椭球体： 其中是 11 z =0 y = 0 x =0 0 y x V：平面 x= 0, y = 0 , z = 0，x+2y+ z =1 所围成的区域 x 0 z y 1 1 Dxy Dxy:x = 0, y = 0, x+2y =1 围成 1 例3 计算三重积分 x + 2y + z =1 Dxy I = 解 12 2.截面法 (红色部分) (1) 投影, 得投影区间 (2) (3)计算二重积分 (4)最后计算单积分 即 13 Dz . b c = 例4 计算 x 0 y z D0 a z 14 三. 三重积分换元法 定 理 若三元函数 在有界闭体 连续 , 则三重积分 存在. 设函数组 在 空间有界闭体 有定义.若满足 下列条件: 15 1) 函数 所有的偏导数在 连续; 2) 16 则有三重积分的换元公式 3)函数组(1)将 空间中的 一一对 应地变换为 空间中的 . 17 例5 计算六个平面 所围成的平行六面体V的体积，其中 是常数，且 18 例6 计算 其中是由曲面 所围成的区域. 解 作
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