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利用直角坐标系计算二重积分 利用极坐标系计算二重积分 二重积分的换元法 8.2 二重积分的计算 (1) 积分区域为： 其中函数 X型 在区间 上连续. 一、利用直角坐标系计算二重积分 有: 先对y后对x的二次积分 例 解 所围平面闭区域. 两曲线的交点 (2) 积分区域为： Y型 先对x后对y的二次积分 也即 其中函数 在区间 上连续. 先对x后对y的积分 ab d c 计算结果一样. 又是Y型: (3)积分区域D既是X型: 但可作出适当选择. (4) 若区域如图, 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式. (用积分区域的可加性质) D1、D2、D3都是X型区域 则必须分割. 例 解1 将D看成X型区域 例 解2 将D看成Y型区域 D1 D2 第 一 种 方 法 计 算 量 小 例 siny2 对y的积分 而它对x的积分 交换积分次序的方法是: 改写D为: o x y 分析 所以将二次积分先 将所给的积分域(1) (2) 画出积分域的草图 (3) 计算二次积分 不能用基本积分法算出, 可用基本积分法算出. 交换积分次序. 用联立不等式表示 D: o x y 例 交换积分次序： 解 积分区域: 原式= 又是能否进行计算的问题. 计算二重积分时, 恰当的选取积分次序 十分重要, 它不仅涉及到计算繁简问题,而且 凡遇如下形式积分: 等等,一定要放在 后面积分. 解 计算积分 不能用初等函数表示, 先交换积分次序. 例 求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程 分别为 及 解 求所围成的 立体的体积. 解 (1)先去掉绝对值符号,如图 例 先对y积分简单 D1 D2D2 解 (2) 仿照(1)的方法，同时充分利用可加性 例 先对y积分简单 D1 D2D2 D1 例 求证 左边的累次积分中, 积分域 可表为 提示 不能具体计算.所以, 是y的抽象函数, 证毕. 先交换积分次序. 计算二重积分其中 解 设 二、利用极坐标系计算二重积分 即 也即 极坐标系中的面积元素 (1) 积分区域D: (2)积分区域D(曲边扇形): (3) 积分区域D: 解 a 例 计算其中D是由中心在原点, 半径为a的圆周所围成的闭区域. 在极坐标系下 解 求反常积分例 显然有 又 夹逼定理 即 所求反常积分 解 例 写出积分的极坐标二次积分 其中积分区域形式, 在极坐标系下 圆方程为 直线方程为 将直角坐标系下积分: 化为极坐标系下的累次积分. o x y 解 原式= 解 计算 所围成的平面闭区域. 例 及直线 计算 因被积函数 D2 例 分析 故 的在积分域内变号. D1 计算 解 积分区域D关于x轴对称, 被积函数关于y为偶函数. 原式= 记D1为D的y0的部分. 则 D1 三、二重积分的换元法 设被积函数 在区域D上连续, 若变换满足如下条件: (1)一对一地变为 D上的点; (2) 有连续的一阶偏导数
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