《高数上册总复习》PPT课件.ppt

高数复习重点（上） 一、函数的极限，连续、可导 1. 函数的极限 （1）重要极限； （2）等价无穷小代换； （3）洛必塔法则； 2. 函数连续（左右连续，间断点类型）、可导的 定义 重点：分段函数在分界点处之连续性与可导性 二、函数求导和微分、复合函数求导，高阶导数， 利用参数方程求曲线的切线方程和法线方程，微分 中值定理的应用 1. 函数求导和微分 重点: 隐函数和参数方程求导(包括二阶导数） 变上限函数求导. 2. 复合函数求导 3. 高阶导数 重点: 二阶导数 4. 利用参数方程求曲线的切线方程和法线方程 6. 微分中值定理的应用 （1）零点定理 P61 （2）中值定理的应用（证明题） 5. 导数的应用：单调区间、凹凸区间，极值与最 值，拐点，渐近线 三、不定积分与定积分 1. 求积分：原函数与不定积分的概念，换元法 和分部积分法，倒代换，对称性，广义积分. 2.定积分的几何应用：平面图形的面积和 旋转体的体积 四、微分方程：一阶线性微分方程，可降阶微分 方程，二阶常系数齐次线性微分方程，二阶常系 数非齐次线性微分方程的特解形式. 例1：求极限 解： / 参考题 答案： 答案：1 例1 解 例2：设 解： 例3 解：微分法 解： 例4：已知 可导，求 例5：已知 解：令则 y = f (u) , x = 0 时 u = 1 例1 解 例5 证明： 例5 证明： f (x) 在（0，+ ）上单调增加，故当 x 0 时，必有 亦即/ 例1:求 的单调增减区间和极值 解： 令 得驻点 x = 1 , 又 x = 0 为不可导点 不存在 极大值极小值 在( , 0) 和( 1 , + ) 上单调增加，在( 0 , 1 )上 单调减少，f ( 0 ) = 0 为极大值， f ( 1 ) = 0.5 为 极小值 五、不定积分计算 重点： （1）凑微分法与分部积分法的结合 例1：设 解： 求 （2）两次分部积分后，表达式含所求不定积分 重点： （1）对称区间上奇函数和偶函数积分性质 若 f (x) 为偶函数，即 若 f (x) 为奇函数，即 1. 求积分：原函数与不定积分的概念，换元法 和分部积分法，倒代换，对称性，广义积分. 例1：求 解： （2）分段函数的积分 例2：设 解： 类似地有被积函数为绝对值或开根号，例如 （3）定积分的换元法和分部积分法 解： 例1：设 f (x) 有一个原函数 ，求 例2 计算 解：原式 换元时，若不写出代换变量，则不要换上、下限. 例3 计算 解令 原式 原式 例3 计算 解令 原式 = 例4：计算 解：这是一个以 1 为瑕点的反常积分 （4）瑕积分计算 三、不定积分与定积分 1. 求积分：原函数与不定积分的概念，换元法 和分部积分法，倒代换，对称性，广义积分. 2.定积分的几何应用：平面图形的面积和 旋转体的体积 图形的面积元素为 x y o （1）A 可以看作为两个曲边梯形面积的差 （2）右边的被积函数可以看作是上边曲线方程与 下边曲线方程的差 曲边扇形的面积 二、极坐标系情形 面积元素 问题：一般地，考虑如图所示的曲边梯形绕 x 轴旋 转一周而形成的空间立体，其体积为多少？ 旋转体的体积 x y o 所以 考虑以 d x 为底的窄曲边梯形 绕 x 轴旋转而成的薄片 V 体积的近似值 其体积可以近似看作以 f (x) 为底半径，高为 d x 的 薄圆柱体的体积，即 体积元素 或 （4）平面两曲线所围之平面图形面积 重要题型： 设曲线将圆 分为两部分，两部分面积之比为 1 : 3 ， 试确定 a 的值 七、微分方程 1。一阶线性微分方程的通解 例1 已知函数 f (x) 满足: 解 求 f (x) . 其通解为 为确定常数 C ，需要一个初始条件。 考虑 t = 1， 1.已知函数 f (x) 满足: 求 f (x) . 参考习题 答案： 2.设连接两点 A(0 , 1), B( 1 , 0) 的一条凸弧，P (x , y ) 为凸弧 AB 上的任意一点，已知凸弧与弦 AP 之间的 面积为 求此凸弧的方程。 答案： 例4：已知函数 f (x) 满足: 求 f (x) . 解：两边求导 例4：已知函数 f (x) 满足: 求 f (x) . 解：两边求导 2。二阶常系数非齐次微分方程满足初始条件的特解 （非齐项为类型） 重点： 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根： 代入方程, 化简得 原方程通解为 例1 求二阶常系数齐次线性微分方程 （1） 的通解的步骤如下： 第一步 写出方程（1）的特征方程 （2） 第二步 求出特征方程（2）的两个根 第三步 根据特征方程（2）的两个根的不同 情形，对应写出方程（1）的通解. （1） （2） 特征方程（2） 的根的判别式 特征方程（2） 的根的情形 微分方程（1）的 通解 两个不相等的 实根 两个相等的 实根 一对共扼复根 其中： 是常数， 对应齐次