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文档简介
函数的幂级数展开 三个问题： 什么是函数的Taylor展开式？ 泰勒展开式是否就收敛于某指 定的函数？ 如何展开？（重点） 1 多项式是具有良好分析性质的简单函数，那么能否 把一个较复杂的函数表达成一个多项式来讨论？ 一般来说，这不容易办到但是能否用幂级数 呢？在某些条件下这是可能的，也是在实际应 用中非常重要的方法 一、泰勒级数 假定函数点有任意阶的导数，则在 2 特别地，取时，叫麦克劳林级数Maclaurin 叫做在处的泰勒级数， 叫做泰勒系数 只要作一个简单的变量替换就可把泰勒级数化为 麦克劳林级数以下我们就只讨论后者 泰勒级数的前n项和叫做 的n阶泰勒多项式 3 函数的泰勒级数与其n阶泰勒多项式的差叫n阶泰勒 余项 可用以表示误差，是进行近似计算的基础 上述的余项形式并不便于应用，常见的余项形式有 ，叫Lagrange型余项 叫Peano型余项 前者用于定量的讨论，后者用于定性讨论 介于0 与x之间 4 二、函数的泰勒级数是否收敛于原来的函数？ 对一个函数，只要其任意阶导数存在，就可以写出它 的泰勒级数，那么这个幂级数收敛于原来的函数吗？ 答案是：不一定 这就是说，写出的泰勒级数也不能用只有在收 敛的部分（收敛到已知函数）才有意义 那么在什么样的条件下，一个函数能用其泰勒 级数表示呢？ 我们有下面的收敛定理： 若在有任意阶的导数，且的n阶 泰勒余项趋于（当时），则可 展开为泰勒级数 5 即 此时，在x点泰勒级数收敛于 三、如何把一个函数展开为其泰勒级数 把一个函数展开为幂级数（麦克劳林级数）有二法 ：直接法和间接法 直接方法： ）求各阶导数）写出泰勒级数； ）求出泰勒级数的收敛区间； ）在收敛区间内，余项是否趋于？ 6 例 求的幂级数展开式 解 故已知函数的泰勒级数为 此级数的收敛区间是 而泰勒余项的绝对值 所以的幂级数展开式为 注意 补充 必要 的步 骤 7 例2 解 在讨论余项时，可简化为讨论是否存在M, 使 8 例3 解 牛顿二项式的推广 9 例子中我们略去了讨论余项的步骤！ 注意: 你能利用牛顿的二项式展开式写出 的泰勒展开式吗？ 此级数称为二项式级数 10 2.间接法 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒 等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式. 这是经常用的方法，但前提是必须记住一些 常见的函数的幂级数！ 例 11 例 例 12 熟练地将函数展开成幂级数是基本要求之一，千万 要注意指出收敛区间！否则就
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