《重积分概念》PPT课件.ppt

第十五章 一元函数积分学 多元函数积分学 重积分 曲线积分 曲面积分 二 重 积 分 推广 三、二重积分的性质 第一节 一、引例 二、二重积分的定义与可积性 二重积分的概念与性质 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、引例 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底面： xoy 面上的有界闭域 D 顶面: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 “分割, 近似, 求和, 取 极限” 解法: 类似于定积分中求曲边梯形面 积的思想： 1)“分割” 用任意曲线网将区域D分成 n 个区域 以它们为底面将曲顶柱体分为 n 个 2)“近似” 在每个 3)“求和” 中任取一点 小曲顶柱体， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 体积记作 则 （用平顶柱体体积近似小曲顶柱体体积） 4)“取极限” 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 计算该薄片的质量 M . 度为 设D 的面积为 , 则 现在非常数 , 仍可用 其面密 “分割,近似,求和, 取极限” 思想解决 1)“分割” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 相应地把薄片也分为n 块。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解： 2)“近似” 中任取一点 3)“求和” 4)“取极限” 则第 k 小块的质量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （用质量均匀分布的薄片质量近似小薄片质量） 两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 结果形式相同 “分割, 近似, 求和,取极限” 曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二重积分的定义 定义: （）分割：用光滑曲线网将区域 D 任意分成 n 个小区域 （）求和： 是定义在有界区域 D上的有界函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 小区域面积也记为 作乘积（）近似：任取 （）取极限： 若不论区域D 的分法、点的取法，和式 积分域被积函数 积分表达式 面积元素 积分和 引例1中曲顶柱体体积: 引例2中平面薄板的质量: 二重积分定义的说明： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4、（二重积分的几何意义） （表示半球体体积） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、二重积分的性质 ( k 为常数) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别地, 由于 则4. 若在D上 机动 目录 上页 下页 返回 结束 5. 设D 的面积为 , 则有 （二重积分估值不等式） 6. (二重积分的中值定理) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 比较下列积分的大小: 其中 解: 积分域 D 的边界为圆周 它与 x 轴交于点 (1,0) , 而域 D 位 从而于直线的上方, 故在 D 上 机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、二重积分的计算 （一）直角坐标系下二重积分的计算 , 从而 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2、积分区域的分类 X型区域：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相 交不多于两个交点. Y型区域：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相 交不多于两个交点. 简单区域进一步可分为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 X型区域 X型区域可表示为： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 Y型区域 Y型区域可表示为： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若区域如图， 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式 则必须分割. 思路：转化为二次积分进行计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 计算二重积分的一般步骤： 1、画出积分区域的图形； 2、判断区域D的类型，选择相应的积分次序； 3、划线定限（积分限从小到大），转化为累次 积分； 4、计算积分值； 例2 解：积分区域如图 解: 积分区域如图 机动 目录 上页 下页 返回 结束 交点(0,0)，(1,-1)，(4,2) 例3. 计算 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 及直线 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 但是对某些函数，我们只能选择一种特定的积分顺序 否则可能导致计算无法正常进行。 例4 解：积分区域如图（既是X型也是Y型） 交点(0,0)，(1,1)，(1,0) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 交换积分次序的解题步骤： (1) 根据积分限画出积分区域的图形 (2) 将原积分转化为二重积分，重新选择积分次序， 转化为新的二次积分进行计算. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5 交换下列积分的积分次序 解：积分区域如图 交点(0,0)，(1,1) 机动 目录 上页 下页