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必修四 平面向量 知识点梳理 知 识 网 络 平 面 向 量 加法、减法 数乘向量 坐标表示 两向量数量积 零向量、单位向量、 共线向量、相等向量 向量平行的充要条件 平面向量基本定理 两向量的夹角公式 向量垂直的充要条件 两点的距离公式 向量的概念 解决 图形 的平 行和 比例 问题 解决 图形 的垂 直和 角度, 长度 问题 向 量 的 初 步 应 用 向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。 重要概念： （1）零向量： 长度为0的向量，记作0. （2）单位向量：长度为1个单位长度的向量. （3）平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反 的非零向量. （4）相等向量：长度相等且方向相同的向量. （5）相反向量：长度相等且方向相反的向量. 一、平面向量概念 几何表示 : 有向线段 向量的表示 字母表示 坐标表示 : (x，y) 若 A(x1,y1), B(x2,y2) 则 AB = (x2 x1 , y2 y1) 一、平面向量概念 向量的模（长度） 1. 设 a a = ( x , y ), 则 2. 若表示向量 a a 的起点和终点的坐标分别的起点和终点的坐标分别 为为A A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则 一、平面向量概念 1.向量的加法运算 A B C AB+BC= 三角形法则 O A B C OA+OB= 平行四边形法则 坐标运算: 则a + b = 重要结论：AB+BC+CA= 0 设 a = (x1, y1), b = (x2, y2) ( x1 + x2 , y1 + y2 ) AC OC 一、平面向量概念 2.向量的减法运算 1）减法法则： OA B 2）坐标运算: 若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 ) 则a b= 3.加法减法运算律 a+b=b+a （a+b)+c=a+(b+c) 1）交换律： 2）结合律： BA (x1 x2 , y1 y2) OAOB = 一、平面向量概念 练习 120o A D B C O 120o A D B C O return 4.实数 与向量 a a 的积 定义： 坐标运算： 其实质就是向量的伸长或缩短！ a a是一个是一个向量向量. . 它的它的长度长度 | | a a| =| =| | | | | |a a| |； ； 它的它的方向方向 若a a = (x , y), 则 a a = = (x , y) = ( x , y) (2) (2) 当当 0 0时时, , a a 的方向的方向与与a a方向方向相反相反. . (1) (1) 当当00时时, , a a 的方向的方向与与a a方向方向相同相同； 一、平面向量概念 则 存在唯一实数，使得 结论: 设 表示与非零向量 同向的单位向量. 定理1:两个非零向量 平行 (方向相同或相反) 一、平面向量概念 向量垂直充要条件的两种形式: 二、平面向量之间关系 向量平行(共线)充要条件的两种形式: （3）两个向量相等的充要条件是两个向量的 坐标相等. 即: 那么 三、平面向量的基本定理 如果 是同一平面内的两个不共线 向量，那么对于这一平面内的任一向 量 ，有且只有一对实数 使 1、平面向量数量积的定义： 2、数量积的几何意义： O A B B 1 (四) 数量积 4、运算律: 3、数量积的坐标运算 5、数量积的主要性质及其坐标表示： O B A 综上所述：原命题成立 C N DB M OA 解: C N DB M OA 例3、 已知a=(3,-2) ， b=(-2,1)， c=(7,-4)， 用a、b表示c。 解：c = m a+n b (7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1) 3m-2n=7 m=1 -2m+n=-4 n=-2 c = a-2b O A B P 另解:可以试着将 说明：(1) 本题是个重要题型：设O为 平面上任一点，则： A、P、B三点共线 或令 = 1 t， = t，则 A、P、B三点共线 (其中 + = 1) (2) 当t = 时， 常称 为OAB的中线公式(向量式) 例5.设AB=2(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b)， 求证：A、B、D 三点共线。 分析 要证A、B、D三点共线，可证 AB=BD关键是找到 解： BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b AB=2 BD A、B、D 三点共线 AB BD 且AB与BD有公共点B 例6.设非零向量 不共线， 若 试求 k. 解： 由向量共线的充要条件得： 即 又 不共线 由平面向量的基本定理 解：设顶点D的坐标为（x，y） 例8 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐 标分别为（2，1）、（ 1，3）、（3，4），求 顶点D的坐标 例9. 已知A(2，1)，B(1，3)，求线段AB中 点M和三等分点坐标P，Q的坐标 . 解：(1) 求中点M的坐标，由中点公式可知 M( ，2) (2) 因为 =(1，3)(2，1) =(3，2) 例10.设A(2, 3)，B(5, 4)，C(7, 10) 满足 (1) 为何值时,点P在直线y=x上? (2)设点P在第三象限, 求的范围. 解: (1) 设P(x, y)，则 (x2, y3)=(3, 1)+(5, 7), 所以x=5+5，y=7+4. 解得 = (2) 由已知 5+50,7+40 , 所以1. 例11（1）已知 =（4，3），向量 是 垂直于 的单位向量，求 . 例13、已知ABC中，A(2,4),B(-1,-2), C(4,3),BC边上的高为AD。 （1）求证：ABAC； （2）求点D和向量AD的坐标； （3）求证：AD2=BDDC 解：（1）A(2,4) B(-1,-2) C(4,3) AB=(-3,-6) AC=(2,-1) ABAC=(-3)2+(-6)(-1)=0 ABAC （2）D(x,y) AD=(x-2,y-4) BC=(5,5) BD=(x+1,y+2) ADBC ADBC=0 5(x-2)+5(y-4)=0 又B、D、C共线 5(x+1)-5(y+2)=0 x+y-6=0 x= D( , ) x-y-1=0 y= AD=( ,- ) （3）AD=( ,- ) BD=( , ) DC=( , ) |AD| = + = BDDC= + = AD =BDDC 2 2 例13、已知ABC中，A(2,4),B(-1,-2), C(4,3),BC边上的高为AD。 （1）求证：ABAC； （2）求点D和向量AD的坐标； （3）求证：AD2=BDDC 例14.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b上的投影为（ ） A. B. C. D. 解析 设a和b的夹角为， |a|cos= C 解 ： 解： 同理可得 =120 解 答案 C AB C A BC P 解析 【例23】已知向量a=(cos x,sin x), b=(cos ,-sin )，且x . (1)求ab及|a+b|; (2)若f(x)=ab-|a+b|，求f(x)的最大值和最小值. 解 0 |a+b|=2cos x. (2)由(1)可得f(x)=cos 2x-2cos x=2cos2x-2cos x-1 =2(cos x- )2- . x ， cos x1， 当cos x= 时，f(x)取得最小值为- ； 当cos x=1时，f(x)取得最大值为