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目录 上页 下页 返回 结束 二、 导数应用 习题课 一、 微分中值定理及其应用 中值定理及导数的应用 第4章 目录 上页 下页 返回 结束 洛必达法则 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 常用的 泰勒公式 Cauchy 中值定理 Taylor 中值定理 单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘; 最值的经济应用 导数的应用 主要内容 目录 上页 下页 返回 结束 二、 导数应用 1. 研究函数的性态: 增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 2. 解决最值问题 目标函数的建立与简化 最值的判别问题 3. 其他应用 :求不定式极限 ;几何应用 ; 相关变化率;证明不等式 ;研究方程实根等. 目录 上页 下页 返回 结束 题型小结 1.应用洛必达法则求未定式的极限 3.最大值、最小值及应用 2.函数性态的研究及作图 4.函数方程根的讨论 根的存在性，根的唯一性，根的个数 函数的单调性与函数的凹凸性，极值、极值点及拐点 5.等式、不等式的证明 微分中值定理，利用函数的性态（单调性，凹凸性，极值，最值） 目录 上页 下页 返回 结束 常用函数的麦克劳林公式 目录 上页 下页 返回 结束 第4章 中值定理与导数的应用 (1) 第四章 大作业解答 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 设 则在点 a 处( ). 的导数存在 , 取得极大值 ; 取得极小值; 的导数不存在. B 提示: 利用极限的保号性 解 : 存在 是极大值. 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 设 ( ). 对(A)(C), A 解 : 故(A)正确， (C)错误. 说明 存在，不一定等于0. 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 设 ( ). 对(B)(D), A 解 : 故(B) (D)都错误. 目录 上页 下页 返回 结束 (4). 解: 目录 上页 下页 返回 结束 (4). 0 极大值 目录 上页 下页 返回 结束 (5) 目录 上页 下页 返回 结束 (6) 目录 上页 下页 返回 结束 (7) 目录 上页 下页 返回 结束 (8). 解：利用洛必达法则求极限. A 解法二 ： 目录 上页 下页 返回 结束 解 二、填空题 (1) 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 解： 常用等价无穷小 : 目录 上页 下页 返回 结束 (3) (4) 目录 上页 下页 返回 结束 (5) 解： 目录 上页 下页 返回 结束 利用泰勒公式求极限 因此，利用带有佩亚诺余项的泰勒公式可以求出某些 函数的极限。 则： 高阶无穷小的性质 目录 上页 下页 返回 结束 1. 原式 三、计算题 解: 目录 上页 下页 返回 结束 1. 解:原式 注意：求极限时，非零极限的因子及时把它分离出去. 目录 上页 下页 返回 结束 解 : 原式 目录 上页 下页 返回 结束 解 : 原式 目录 上页 下页 返回 结束 解: 练习 和差不能等价代换理由: 目录 上页 下页 返回 结束 解 : 原式 目录 上页 下页 返回 结束 解 : 原式 目录 上页 下页 返回 结束 原式 目录 上页 下页 返回 结束 2. 解: 为唯一的极小值点 , 从而为最小值点 . 此时 目录 上页 下页 返回 结束 3. 解 ： 非奇非偶函数,且无对称性. 目录 上页 下页 返回 结束 列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点: 不存在 拐点 极值点 间 断 点 (极小) 目录 上页 下页 返回 结束 作图 目录 上页 下页 返回 结束 四. 设 至少存在一点使 证: 问题转化为证 设则 在 0, 1 上满足柯西中值 定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 , 使 即 证明 目录 上页 下页 返回 结束 四. 设 至少存在一点 证: 问题转化为证 目录 上页 下页 返回 结束 五. 糖果厂每周的销售量为q千袋，每袋价格为2元， 总成本函数为 问(1)不盈不亏(即收益等于成本)时的销售量； (2)可取得利润的销售量； (3)取得最大利润时的销售量和最大利润； (4)平均成本最小时的产量. 元 解 ： 所以不盈不亏时的销售量为2千袋或5千袋； 所以可取得利润的销售量为大于2千袋且小于5千袋； (1) (2) 目录 上页 下页 返回 结束 五. 糖果厂每周的销售量为q千袋，