药学高数4(函数的连续性.ppt

第五节 函数的连续性 一、函数的连续性 二、初等函数的连续性 三、函数的间断点 四、闭区间上连续函数的性质 一、函数的连续性 如同体温的升降、血液的流动、机体的成长等，在 生命科学范畴里，很多变量的变化都是连续不断的。 函数的连续性正是客观世界中事物连续变化现象的反 映。 连续变化的曲线对应的函数为连续函数 0 x y 设函数 在点 附近有定义,把 附近的点 记为 ,则称 为自变量由 变到 的 增量 ( increment )。 为函数在点 的增量. 定义1-14 设函数 y=f (x) 在点 x0 及其某邻域内有定 义，如果当自变量的增量 x= x- x0 趋向于零时，对 应 的函数的增量 y= f ( x0+ x ) - f ( x0 )也趋向于零， 即 则称函数 y=f (x) 在点 x0 处是连续的(continuous)，称 x0 是函数的连续点(continuous point)。 注意 故定义中1-14极限式等价于 定义1-15 设函数 y=f (x) 在点 x0 及其某邻域内有 定 义，如果函数 f (x) 当 xx0 时的极限存在，且等于 它 在点 x0 处的函数值 f ( x0 ) ，即 则称函数 y=f (x) 在点 x0 处连续。 设函数 f (x) 在区间 a x b 内有定义，如果左极 限 存在且等于f (b)，即 则称函数 f (x) 在点 b 处左连续。 设函数 f (x) 在区间 a x b 内有定义，如果右极 限 存在且等于f (a)，即 则称函数 f (x) 在点 a 处右连续。 显然 即： 连续函数与连续区间 若函数在开区间（a , b）内的每一个点都连续，则 称函数在开区间（a , b）内连续。 如果函数在开区间（a , b）内连续，且在端点 a 处 右连续，在端点 b 处左连续，则称函数在闭区间 a , b 上连续。 连续函数( continuousfunction )的图形是一条连续不 间断的曲线。 例1-32 讨论函数 在 x=0 处的连续性 。 解 显然 f (x) 在 x=0 处有定义，且 f (0)=0 （无穷小与有界函数的乘积是无穷小）， 从而 ，所以 f (x) 在 x=0 处连 续。 二、初等函数的连续性 例1-33 证明 定理1-6 基本初等函数在其定义域内是连续的。 定理1-7 一切初等函数在其定义区间内都是连续的 。 求初等函数当 xx0 时的极限：如果 x0 是初等函数 f (x) 定义域内的点，则 例如 有理整函数（即多项式函数） （其中 都是常数） 是初等函数，其定义域为无穷区间（，+），则 对任意的 x0 ，有 例如 有理分式函数 其中 P (x) , Q (x) 都是多项式， 只要 x0 使得分母 Q ( x0 ) 0 , x0 就是初等函数 F (x) 定 义域内的点，就可以把 x0 直接代入分母及分子计算 例1-34 求 解 例1-35 求 解 在 x=0 处没有定义，不能把 0 直 接代入计算。先用有理化的方法把分式改写成 从而 定理1-8 设函数 u=g (x) 当 xx0 时的极限存在且等 于a ，即 。而函数 y = f (u) 在点 u=a 处 连 续，那么复合函数 y = f g (x) 当 xx0 时的极限存 在 且等于f (a)，即 证明 定理条件中的函数 y = f (u) 在点 u=a 处连续 ， 从而有 再考虑到 ，于是有 或 所以 在满足定理 1-8 条件的情形下，求复合函数 f g (x) 的极限时： （1）函数 f 符号与极限号 lim 可以交换次序； （2）如果作代换 u=g (x)，那么求 就化为计算 ，这里 例1-36 求 解 x=0 不是定义域内的点。 三、函数的间断点 如果函数 f (x) 在点 x0 处不连续，则称点 x0 为函数 y=f (x) 的间断点(discontinuous point)。 即满足下列三个条件之一的点 x0 为函数 f (x)间断点 例1-37 函数在 在 x=1 处没有定义, 因此 x=1 为函数 的间断点。但 即 x1 时函数的极限存在，称 x=1 为函数 的可去间断点。 x y 1 2 o 例1-38 函数 在 x=0 处有定义，f (0)=0。 左极限与右极限都存在，但不相等，故极限 不存在，所以 x=0 是 f (x) 的间断点。因为函数 y=f (x) 的图形在 x=0 处产生跳跃现象，故称是函数 f (x) 的 跳跃型间断点。 x y o y =x+1 y =x+1 1 -1 例1-39 在 x=0 处有定义： f (0)=1。而 ，即 x0 时函 数的极限不存在但不等于x=0 处的函数值 f (0)。所以 x=0 是函数 f (x) 的间断点。也称为可去间断点。 x y o y =x 例1-40 正切函数 y=tan x 在 x=/2 处没有定义，所以点 x=/2 是正切函 数的间断点。因为 ， 故称 x=/2 为正切函数 tan x 的无穷 型间断点。 例1-41 函数 在 x=0 时没有定义，所以 x=0 为函数的间断点。当 x0 时，函数值在 -1 与 +1 之 间 来回变动。所以点 x=0 叫做函数 的振荡型 间 断点。 1-1-0.50.5 y x 间断点分为第一类间断点和第二类间断点。 左、右极限不相等者称为跳跃间断点； 左、右极限相等者称为可去间断点。 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点。 不是第一类间断点的任何间断点，都称为第二类间 断点。 第一类间断点:可去型,跳跃型。 第二类间断点:无穷型,振荡型。 间断点 可去型 第一类间断点 o y x 跳跃型 无穷型振荡型 第二类间断点 o y x o y x o y x 四、闭区间上连续函数的性质 定理1-9 （最大值和最小值定理） 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。 推论1-5 （有界性定理）在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界。 a b 定理1-10 （介值定理）设函数 f (x) 在闭区间 a , b 上连续，且在这区间的两个端点取不同的函数值 f (a)=A , f (b)=B , AB 。则对于 A 与 B 之间的任意一 个数 C ，在开区间 (a , b) 内至少有一点 ，使得 f ()= C 。 几何意义：连续曲线 y=f (x) 与水平直线 y= C 至少相 交于一点。 o y xa123b A C B y =f (x) 零点定理：如果 f (a) 与 f (b) 异号 ( f (a) f (b) 0 , f (1)= -2 b 。证明在开区间（a , b）内至少有 一点 ，使得 f ( )= 。 证明 构造函数 F (x)= f (x) - x ，则 F (x) 在 a , b 上 连续。 又因为F (a)= f (a) a 0 , 由零 点定理，在开区间 ( a , b ) 内至少有一点 ，使得 F ( )= f ( ) = 0 ，即 f ( ) = 。 内容小结： 左连续右连续 第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 左右极限都存在 第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点 左右极限至少有一 个不存在 在点间断的类型 在点连续的等价形式 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算结果仍连续 连续函数的反函数连续 连续函数的复合函数连续 初等函数在 定义区间内 连续 在 上达到最大值与最小值; 上可取最大与最小值之间的任何值;