二次函数与特殊四边形综合问题.doc

二次函数与特殊四边形综合问题一、知识准备： 抛物线与直线形的结合表形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊四边形，有以下常风的基本形式（1）抛物线上的点能否构成平行四边形（2）抛物线上的点能否构成矩形，菱形，正方形（3）抛物线上的点能否构成梯形。特殊四边形的性质与是解决这类问题的基础，而待定系数法，数形结合，分类讨论是解决这类问题的关键二、例题精析【抛物线上的点能否构成平行四边形】例一、如图，抛物线与直线交于两点，其中点在轴上，点的坐标为。点是轴右侧的抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点.（1）求抛物线的解析式；（2）若点的横坐标为，当为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。（3）若存在点，使，请直接写出相应的点的坐标【解答】（1）直线经过点, 抛物线经过点， 抛物线的解析式为（2）点的横坐标为且在抛物线上 ，当时，以为顶点的四边形是平行四边形 当时，解得：即当或时，四边形是平行四边形 当时，解得：（舍去）即当时，四边形是平行四边形（3）如图，当点在上方且时，作,则 PMFCNF， 又 解得：，（舍去） 。同理可以求得：另外一点为【抛物线上的点能否构成矩形，菱形，正方形】例二（2013荆州）如图，已知：如图，直线y=x+与x轴、y轴分别交于A、B两点，两动点D、E分别从A、B两点同时出发向O点运动（运动到O点停止）；对称轴过点A且顶点为M的抛物线y=a（xk）2+h（a0）始终经过点E，过E作EGOA交抛物线于点G，交AB于点F，连结DE、DF、AG、BG设D、E的运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，运动时间为t秒（1）用含t代数式分别表示BF、EF、AF的长；（2）当t为何值时，四边形ADEF是菱形？判断此时AFG与AGB是否相似，并说明理由；（3）当ADF是直角三角形，且抛物线的顶点M恰好在BG上时，求抛物线的解析式考点：二次函数综合题分析：（1）首先求出一次函数y=x+与坐标轴交点A、B的坐标，然后解直角三角形求出BF、EF、AF的长；（2）由EFAD，且EF=AD=t，则四边形ADEF为平行四边形，若ADEF是菱形，则DE=AD=t由DE=2OE，列方程求出t的值；如答图1所示，推出BAG=GAF，ABG=AGF=30，证明AFG与AGB相似（3）当ADF是直角三角形时，有两种情形，需要分类讨论：若ADF=90，如答图2所示首先求出此时t的值；其次求出点G的坐标，利用待定系数法求出直线BG的解析式，得到点M的坐标；最后利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式；若AFD=90，如答图3所示解题思路与相同解答：解：（1）在直线解析式y=x+中，令x=0，得y=；令y=0，得x=1A（1，0），B（0，），OA=1，OB=tanOAB=，OAB=60，AB=2OA=2EGOA，EFB=OAB=60EF=t，BF=2EF=2t，AF=ABBF=22t（2）EFAD，且EF=AD=t，四边形ADEF为平行四边形若ADEF是菱形，则DE=AD=t由DE=2OD，即：t=2（1t），解得t=t=时，四边形ADEF是菱形此时AFG与AGB相似理由如下：如答图1所示，连接AE，四边形ADEF是菱形，DEF=DAF=60，AEF=30由抛物线的对称性可知，AG=AE，AGF=AEF=30在RtBEG中，BE=，EG=2，tanEBG=，EBG=60，ABG=EBGEBF=30在AFG与AGB中，BAG=GAF，ABG=AGF=30，AFGAGB（3）当ADF是直角三角形时，若ADF=90，如答图2所示：此时AF=2DA，即22t=2t，解得t=BE=t=，OE=OBBE=，E（0，），G（2，）设直线BG的解析式为y=kx+b，将B（0，），G（2，）代入得：，解得k=，b=，y=x+令x=1，得y=，M（1，）设抛物线解析式为y=a（x1）2+，点E（0，）在抛物线上，=a+，解得a=y=（x1）2+=x2+x+若AFD=90，如答图3所示：此时AD=2AF，即：t=2（22t），解得：t=BE=t=，OE=OBBE=，E（0，），G（2，）设直线BG的解析式为y=kx+b，将B（0，），G（2，）代入得：，解得k=，b=，y=x+令x=1，得y=，M（1，）设抛物线解析式为y=a（x1）2+，点E（0，）在抛物线上，=a+，解得a=y=（x1）2+=x2+x+综上所述，符合条件的抛物线的解析式为：y=x2+x+或y=x2+x+点评：本题是中考压轴题，涉及二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、解直角三角形、菱形等知识点第（3）问中，有两种情形存在，需要分类讨论，避免漏解【抛物线上的点能否构成梯形】例三. (2008年成都市)如图，在平面直角坐标系xOy中，OAB的顶点的坐标为（10，0），顶点B在第一象限内，且=3，sinOAB=.（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式；（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将点O、点A分别变换为点Q（ -2k ,0）、点R（5k，0）（k1的常数），设过Q、R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N，其顶点为M，记QNM的面积为，QNR的面积，求的值.解：（1）如图，过点作于点在中，yxFP3BECDAP2P1O，又由勾股定理，得点在第一象限内，点的坐标为点关于轴对称的点的坐标为设经过三点的抛物线的函数表达式为由经过三点的抛物线的函数表达式为（2）假设在（1）中的抛物线上存在点，使以为顶点的四边形为梯形点不是抛物线的顶点，过点作直线的平行线与抛物线交于点则直线的函数表达式为对于，令或而点，在四边形中，显然点是符合要求的点若设直线的函数表达式为将点代入，得直线的函数表达式为于是可设直线的函数表达式为将点代入，得直线的函数表达式为由，即而点，过点作轴于点，则在中，由勾股定理，得而在四边形中，但点是符合要求的点若设直线的函数表达式为将点代入，得直线的函数表达式为直线的函数表达式为由，即而点，过点作轴于点，则在中，由勾股定理，得而在四边形中，但点是符合要求的点综上可知，在（1）中的抛物线上存在点，使以为顶点的四边形为梯形（3）由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下yxQOGRMN当抛物线开口向上时，则此抛物线与轴的负半轴交于点可设抛物线的函数表达式为即如图，过点作轴于点，当抛物线开口向下时，则此抛物线与轴的正半轴交于点同理，可得综上可知，的值为三、形成提升训练1、如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2（1） 求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2） P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、 C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由A2、如图，对称轴为直线的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E（，）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形求平行四边形OEAF的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由3： 如图，二次函数y= -x2+ax+b的图像与x轴交于A(-，0)