2015年二次函数压轴题解题思路简化版(有答案).doc

二次函数压轴题解题思路一、基本知识1会求解析式2.会利用函数性质和图像3.相关知识：如一次函数、反比例函数、点的坐标、方程。图形中的三角形、四边形、圆及平行线、垂直。一些方法：如相似、三角函数、解方程。一些转换：如轴对称、平移、旋转。二、典型例题：（一） 求解析式（2014兰州）把抛物线y=2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（）Ay=2（x+1）2+2 By=2（x+1）22 Cy=2（x1）2+2 Dy=2（x1）22（二） 二次函数的相关应用第一类：面积问题1.（2014兰州）如图，抛物线y=x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（1，0），C（0，2）（1）求抛物线的表达式；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标k | B | 1 . c |O |m第二类：.构造问题（1）构造线段2.（2013莱芜）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点A（3，0）、B（1，0）、C（2，1），交y轴于点M（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；解：（1）把A（3，0）、B（1，0）、C（2，1）代入得，解得。抛物线的表达式为。（2）将x=0代入抛物线表达式，得y=1点M的坐标为（0，1）。设直线MA的表达式为y=kx+b，则，解得。直线MA的表达式为。设点D的坐标为，则点F的坐标为。当时，DF的最大值为。此时，即点D的坐标为。（3）存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三角形与MAO相似。设P，在RtMAO中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限。设点P在第二象限时，点P不可能在直线MN上，只能PN=3NM。，即，解得m=3或m=8。此时3m0，此时满足条件的点不存在。当点P在第三象限时，点P不可能在直线MN上，只能PN=3NM。，即，解得m=3（舍去）或m=8。当m=8时，此时点P的坐标为（8，15）。当点P在第四象限时，若AN=3PN时，则，即m2+m6=0。解得m=3（舍去）或m=2。当m=2时，此时点P的坐标为（2，）。若PN=3NA，则，即m27m30=0。解得m=3（舍去）或m=10。当m=10时，此时点P的坐标为（10，39）。综上所述，满足条件的点P的坐标为（8，15）、（2，）、（10，39）。（2）构造相似三角形3.（2013莱芜）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点A（3，0）、B（1，0）、C（2，1），交y轴于点M（1）求抛物线的表达式；（抛物线的表达式为y=）（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由（2013莱芜）解：由题意可知解得抛物线的表达式为y=（2）将x=0代入抛物线表达式，得y=1点M的坐标为（0，1）设直线MA的表达式为y=kx+b，则解得直线MA的表达式为y=x+1设点D的坐标为（），则点F的坐标为（）DF=当时，DF的最大值为此时，即点D的坐标为（）（3）存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三角形与MAO相似设P（m，）在RtMAO中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限设点P在第二象限时，点P不可能在直线MN上，只能PN=3NM，即m2+11m+24=0解得m=3（舍去）或m=8又3m0，故此时满足条件的点不存在当点P在第三象限时，点P不可能在直线MN上，只能PN=3NM，即m2+11m+24=0解得m=3或m=8此时点P的坐标为（8，15）当点P在第四象限时，若AN=3PN时，则3，即m2+m6=0解得m=3（舍去）或m=2当m=2时，此时点P的坐标为（2，）若PN=3NA，则，即m27m30=0解得m=3（舍去）或m=10，此时点P的坐标为（10，39）综上所述，满足条件的点P的坐标为（8，15）、（2，）、（10，39）（3）构造平行四边形4.（2014莱芜）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4x于C、D两点抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点（1）求抛物线的表达式；（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；（2014莱芜）解：（1）由题意，可得C（1，3），D（3，1）抛物线过原点，设抛物线的解析式为：y=ax2+bx，解得，抛物线的表达式为：y=x2+x（2）存在设直线OD解析式为y=kx，将D（3，1）代入求得k=，直线OD解析式为y=x设点M的横坐标为x，则M（x，x），N（x，x2+x），MN=|yMyN|=|x（x2+x）|=|x24x|由题意，可知MNAC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3|x24x|=3若x24x=3，整理得：4x212x9=0，解得：x=或x=；若x24x=3，整理得：4x212x+9=0，解得：x=存在满足条件的点M，点M的横坐标为：或或（4）构造等腰三角形5.（2013泰安）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，-4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PEAC，交BC于E，连接CP，求PCE面积的最大值（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且OMD为等腰三角形，求M点的坐标解：（1）把点C（0，4），B（2，0）分别代入中，得，解得。该抛物线的解析式为。（2）令y=0，即，解得x1=4，x2=2。A（4，0），SABC=ABOC=12。设P点坐标为（x，0），则PB=2x。PEAC，BPE=BAC，BEP=BCA。PBEABC。，即，化简得：。当x=1时，SPCE的最大值为3。（3）OMD为等腰三角形，可能有三种情形：当DM=DO时，如图所示，DO=DM=DA=2，OAC=AMD=45。ADM=90。M点的坐标为（2，2）。当MD=MO时，如图所示，过点M作MNOD于点N，则点N为OD的中点，DN=ON=1，AN=AD+DN=3，又AMN为等腰直角三角形，MN=AN=3。M点的坐标为（1，3）。当OD=OM时，OAC为等腰直角三角形，点O到AC的距离为4=，即AC上的点与点O之间的最小距离为。2，OD=OM的情况不存在。综上所述，点M的坐标为（2，2）或（1，3）。（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式。（2）首先求出PCE面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值。（3）OMD为等腰三角形，分DM=DO，MD=MO，OD=OM三种情况讨论即可。（5）构造直角三角形6.（2014四川内江）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CBx轴，且AB平分CAO（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由（2014四川内江，第28题，12分）解：（1）如图1，A（3，0），C（0，4），OA=3，OC=4AOC=90，AC=5BCAO，AB平分CAO，CBA=BAO=CABBC=ACBC=5BCAO，BC=5，OC=4，点B的坐标为（5，4）A（3.0）、C（0，4）、B（5，4）在抛物线y=ax2+bx+c上，解得：抛物线的解析式为y=x2+x+4（2）如图2，设直线AB的解析式为y=mx+n，A（3.0）、B（5，4）在直线AB上，解得：直线AB的解析式为y=x+设点P的横坐标为t（3t5），则点Q的横坐标也为tyP=t+，yQ=t2+t+4PQ=yQyP=t2+t+4（t+）=t2+t+4t=t2+=（t22t15）= （t1）216=（t1）2+0，315，当t=1时，PQ取到最大值，最大值为线段PQ的最大值为（3）当BAM=90时，如图3所示抛物线的对称轴为x=xH=xG=xM=yG=+=GH=GHA=GAM=90，MAH=90GAH=AGMAHG=MHA=90，MAH=AGM，AHGMHA=解：MH=11点M的坐标为（，11）当ABM=90时，如图4所示BDG=90，BD=5=，DG=4=，BG=同理：AG=AGH=MGB，AHG=MBG=90，AGHMGB=解得：MG=MH=MG+GH=+=9点M的坐标为（，9）综上所述：符合要求的点M的坐标为（，9）和（，11）7.（常德）已知如图，以RtABC的AC边为直径作O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF（1） 求证：EF是O的切线；（2）若O的半径为3，EAC60，求AD的长。证明：（1）连接FO易证OFABACO的直径CEAEOFABOFCEOF所在直线垂直平分CEFCFE，OEOCFECFCE，0EC0CERtABCACB90即：0CEFCE900ECFEC90即：FEO90FE为O的切线（2）O的半径为