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普通物理实验 (力学部分) 主讲:包秀丽 长江师范学院物电系 普通物理实验课的作用普通物理实验课的作用 普通物理实验课是高等理工普通物理实验课是高等理工 院校的一门必修基础课程，是对院校的一门必修基础课程，是对 学生进行科学实验基本训练，提学生进行科学实验基本训练，提 高学生分析和解决实际问题能力高学生分析和解决实际问题能力 的重要课程。物理实验课和物理的重要课程。物理实验课和物理 理论课具有同等重要的地位。理论课具有同等重要的地位。 普通物理实验课的任务普通物理实验课的任务 通过普通物理实验课的学习，学通过普通物理实验课的学习，学 生应在习惯、知识、能力三方面达到生应在习惯、知识、能力三方面达到 如下要求。如下要求。 （一）培养良好的科学实验素养。（一）培养良好的科学实验素养。 （二）掌握物理实验理论基础知识（二）掌握物理实验理论基础知识, , 加深对物理学原理的理解。加深对物理学原理的理解。 （三）具备相应的实验技能和技巧。（三）具备相应的实验技能和技巧。 普通物理实验课的教学环节普通物理实验课的教学环节 1.1.课前预习课前预习 (1)(1)预习讲义中与本实验相关的全部内容。预习讲义中与本实验相关的全部内容。 (2)(2)写出预习报告（实验题目、实验原理、原理写出预习报告（实验题目、实验原理、原理 简图、主要实验公式、回答问题）简图、主要实验公式、回答问题）, ,准备原始实准备原始实 验数据记录表格。验数据记录表格。 2.2.课堂操作课堂操作 (1)(1)上课需带实验讲义、笔、尺、计算器等；上课需带实验讲义、笔、尺、计算器等； (2)(2)必须在了解仪器的工作原理、使用方法、必须在了解仪器的工作原理、使用方法、 注意事项的基础上，方可进行实验；注意事项的基础上，方可进行实验； (3)(3)仪器安装调试后经教师检查无误后方可进仪器安装调试后经教师检查无误后方可进 行实验操作。行实验操作。 (4)(4)注意观察实验现象，认真记录测量数据，注意观察实验现象，认真记录测量数据， 将数据填入原始实验数据记录表格将数据填入原始实验数据记录表格, ,数据须数据须 经指导老师检查及签字。经指导老师检查及签字。 (5)(5)实验后请将使用的仪器整理好，归回原处。实验后请将使用的仪器整理好，归回原处。 经教师允许后方可离开实验室。经教师允许后方可离开实验室。 3.3.课后总结课后总结 按要求完成实验报告按要求完成实验报告, ,（原始数据整理到（原始数据整理到 实验报告上，进行数据处理并回答问题实验报告上，进行数据处理并回答问题) )。 实验报告内容包括： （1）实验目的 （2）仪器及设备 （3）实验原理 （4）实验步骤 （5）数据记录与处理 （6）讨论与思考 第一章第一章 测测 量量 误误 差差 1 测量与误差 2 误差处理 3 测量不确定度 物理实验是对物理现象、运动规律的物理实验是对物理现象、运动规律的 定量的认识定量的认识, ,当然离不开测量当然离不开测量, , 但决不仅但决不仅 仅是测量仅是测量, , 还需从一定的理论出发，对测还需从一定的理论出发，对测 量数据加以分析量数据加以分析, ,归纳出有关结论。归纳出有关结论。 1 1 测量与误差测量与误差 一一. .测量及其分类测量及其分类 它包含着：理论它包含着：理论 实验方法实验方法 仪器选择仪器选择 测量测量 数据处理数据处理 结结 果分析等环节，可见物理实验包括测量果分析等环节，可见物理实验包括测量 ，但物理实验决不是单纯的测量。，但物理实验决不是单纯的测量。 测量是用仪器通过一定的方法，进行实 验比较，以某一计量单位，把待测量定 量地表示出来。 测量的分类测量的分类 直接测量直接测量 间接测量间接测量 等精度测量等精度测量 不等精度测量不等精度测量 按性质分 按条件分 直接测量 指被测量直接与仪器比较得出被测 量量值的测量。如用米尺测长度、用天平测质 量、用秒表测时间等都是直接测量，所得的物 理量如长度、质量、时间等称为直接测量值。 间接测量 是指由一个或几个直接测量值通过 一定的函数关系计算出被测量量值的测量。大 多数物理量都是间接测量值。 如重力加速度 密度 等精度测量 在对某一物理量进行多次重复 测量过程中，每次测量条件都相同的一系列测 量称为等精度测量。例如：由同一个人在同一 仪器上用同一测量方法对同一物理量进行多次 测量，每次测量的可靠程度都相同，这些测量 是等精度测量。 不等精度测量 对某一物理量进行多次测量 时，测量条件完全不同或部分不同，各测量结 果的可靠程度不同的一系列测量称为不等精度 测量。:例如在对某一物理量进行多次测量时 ，选用的仪器不同，或测量方法不同，或测量 人员不同等都属于不等精度测量。 仪器 仪器是指用以直接或间接测出被测对象量值的 所有器具，如天平、游标卡尺、停表、惠斯登 电桥等。 测量结果 测量结果给出被测量的量值，它包括两部分： 数值和单位。 一个国家的最准确的计量器具是主基准，在全 国各地又有经过主基准效准过的工作基准，实 验室使用的仪器应由工作基准进行效准。 仪器的准确度等级 测量时以仪器为标准进行比较。这就要求仪器 是准确的（至少应满足实验本身不确定度的要 求）。 在对实验仪器的选择时，对仪器的准确度等级 的选择要恰当，一般是在满足测量要求的条件 下，尽可能选用准确度低的仪器。减少准确度 高的仪器的使用次数，可以减少在反复使用时 的损耗，延长其使用寿命。 二二. .误差误差 1、真值与误差 测量值(x):通过直接测量或间接测量 得到的物理量的量值。 误差（）：测量值（x）-真值（a)=误差 （绝对误差） 真 值(a): 一个物理量客观存在的量值 ，与测量所用的理论方法及仪 器无关。 测量的任务就是： 1）、给出被测量真值的最佳估计值 2）、给出真值最佳估计值的可靠程度的估计 大量实验表明，误差的来源，可以概括为： 1）、理论：理论上的近似处理； 2）、仪器：仪器精度； 3）、实验装置：仪器之间的连接和配合； 4）、实验条件：实验装置对实验条件的满足 程度及对理论要求的满足程度； 5）、观测者：人自身的心理和生理条件的限 制。 三、误差的分类三、误差的分类 系统误差 偶然误差 过失误差 是指在多次重复测量中，符号和绝对值保 持不变或按某一规律变化的误差。 系统误差是有规律的，在测量条件不变时 有确定的大小和方向，在测量条件改变时按一 定的规律变化。因此，增加测量次数并不能减 小系统误差，只能从系统误差产生的原因进行 分析，并采取必要的措施尽量减小和消除其影 响，测量后设法估计未能消除的部分，对测量 结果加以修正。 1.系统误差 b、估计残存系统误差的可能范围。 由系统误差特有的规律性，可采取一定 的措施削减或消除它。研究系统误差 目的是 a、探索系统误差的来源，设计实验方案 消除或削减该项系统误差； 2、系统误差产生的原因 系统误差的规律性往往和实验仪器、实验原 理有关。系统误差产生的主要原因有： 天平不等臂所造成的 系统误差 A.仪器误差 由于仪器本身的缺陷或没有按规定的条 件使用仪器而造成的误差。例如，仪器的 零点不准，天平两臂不等长，比如，在 条件标定的标准电阻在 条件下 使用等造成的误差。 由于理论推导中的近似性；或者实验条件由于理论推导中的近似性；或者实验条件 不能达到理论公式所规定的要求；不能达到理论公式所规定的要求； B.理论误差 如： 公式成立的条件是摆角趋于零，而在测量时又要求 有一定的摆角，这就决定了测量结果必然含有误差 公式 （忽略了空气阻力等） 意大利科学意大利科学 家伽利略在比家伽利略在比 萨斜塔上做的萨斜塔上做的 铁球落地实验铁球落地实验 。两个不同重。两个不同重 量的铁球从高量的铁球从高 处落下，同时处落下，同时 着地。说明理着地。说明理 论在一般情况论在一般情况 下都能较准确下都能较准确 地反映物体真地反映物体真 实的运动规律实的运动规律 C.C.方法误差方法误差 内接内接 A V VRVA A V IR IV 用V作为VR的近似值 时，求 外接外接 由于测量方法带来的误差 环境误差 市电的干扰市电的干扰 输入输入 光点检流计光点检流计 接近时，静接近时，静 电干扰，使电干扰，使 光斑移动等光斑移动等 。 D.人身误差 心理作用，读数（估计）偏大或偏小。心理作用，读数（估计）偏大或偏小。 生理因素听觉 嗅觉 色觉 视觉 对音域（20HZ-20KHZ） 的辨别。 对音色的辨别。 系统误差系统误差特点 增加测量次数并不能减小系统误增加测量次数并不能减小系统误 差，只能从差，只能从仪器仪器、理论理论、环境、方法环境、方法 等方面发现并改进与修正来实现。表等方面发现并改进与修正来实现。表 现出现出恒偏大、恒偏小或周期性恒偏大、恒偏小或周期性的特点的特点 ，影响实验结果的，影响实验结果的准确度准确度。 在相同实验条件下，重复测量某一个量的在相同实验条件下，重复测量某一个量的 量值不尽相同，及每次测量的误差是不同的。量值不尽相同，及每次测量的误差是不同的。 这类由于偶然的、不确定的因素造成的误差称这类由于偶然的、不确定的因素造成的误差称 之为之为偶然误差偶然误差。其影响程度表现为随机特。其影响程度表现为随机特 性，增加测量次数可减小其影响。性，增加测量次数可减小其影响。 3.3.偶然误差偶然误差 偶然误差是由于人的感官灵敏度、仪器的 精密度的限制、周围环境的干扰等等偶然因素 的影响综合造成的。但是，偶然误差服从一定 的统计（正态分布）规律。 4产生原因 偶然误差在实验过程中是不可避免偶然误差在实验过程中是不可避免 亦不可消除的，其对任一次测量结果的亦不可消除的，其对任一次测量结果的 影响具有随机性特点。但在多次测量中影响具有随机性特点。但在多次测量中 表现出确定的统计规律即（正态分布）表现出确定的统计规律即（正态分布） 规律。依此可用来对随机误差的影响程规律。依此可用来对随机误差的影响程 度作出客观的评价。度作出客观的评价。 5.5.偶然误差的特点及估算偶然误差的特点及估算 1）、偶然误差的分布规律： 例，用秒表测单摆的周期T，将各测量值出现 的次数列表如下。 测量值xi 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 次 数 n 1 1 2 8 5 2 2 1 0 xi n=30次 n 测量值xi 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 次 数 n 0 2 4 10 1 1 7 5 1 1 n=60 次 10 20 6 16 1.05 n 测量值 1.05 6 10 16 20 26 30 测量值 次数 xi n 1.01 1 1.02 4 1.03 7 1.04 23 1.05 25 1.06 20 1.07 11 1.08 5 1.09 2 1.10 2 n=100次 n xi 可以预计，当 测量次数无限增多 时，曲线将表现为 单峰、对称、有界 抵偿的特征。在有 限次测量下，得到 的所有曲线，是以 对称曲线为中心， 左右摆动的曲线族。 n xi 30次 60次 100次 2）.偶然误差的特点： 1）单峰性 绝对值小的比绝对值大的 误差出现的概率大； 2）对称性 绝对值相同的正负误差出 现的概率相同； 3）有届性 绝对值很大的误差出现的 概率接近零； 4）抵偿性 偶然误差的算术平均值随 测量次数的增加而减小。 根据偶然误差的上述特点，可以找到减小 偶然误差的方法：增加测量次数、用算术平均 值作为被测量真值的最佳估计值近真值。 是评价测量值准确与否的客观标准。 最佳值：多次测量的算术平均值 （近真值） 偏差： 相对误差： 对物理量X进行多次等精度测量，测 量列为 过失误差 粗大误差是指用客观条件不能解释为合理的那 些实验误差。粗大误差产生的原因很多，在此 不作一一介绍。但是，粗大误差的出现会歪曲 实验结果，因此在实验中必须避免。 直接测量值的误差估计 物理实验中，绝大多数测量都是间接测量，但 是，间接测量是建立在直接测量的基础上的。 因此，直接测量结果的好坏，直接影响到间接 测量的准确度。对直接测量结果的好坏的评价 ，可从两个方面考虑： 1）、数据的分散范围； 2）、该范围内数据的集中程度。 三.偶然误差的估算 标准偏差 具有偶然误差的测量值将是分散的 ，对分散情况的定量表示用标准偏差（s）表示 所谓测量列，是指对同一物理量进行多次等 精度测量而得到的一组数据。这组数据中的每个 值是不完全相同的，或者说存在一定的差异，而 这个差异就可用标准偏差来评价。 比如有如下的两组测量值： A 2.1 2.6 2.8 2.9 3.0 3.2 3.7 B 2.1 2.4 2.7 2.9 3.1 3.4 3.7 两组数都在2.1到3.7之间，平均值都是 2.9，但A组数比较向中间集中，B组 则稍差,根据上式计算标准偏差分别 为 s越小，测量的离散程度越小，测量的可 靠性越高。因此，标准偏差（ s ）是表 示测量离散程度的物理量 算术平均值的标准偏差 测量值有偶然 误差，它们的算术平均值也必然有偶然误 差，由于求和时偶然误差的抵偿效应，算 术平均值的误差绝对值较小，它的标准偏 差也应小于测量列的标准偏差，标准偏差 表示算术平均值 偏离真值 的程度 标准偏差的统计意义 算术平均值的标准 偏差的大小反映了测量数据的离散范围和 集中程度，按误差理论的高斯分布，其统 计意义是： 范围包含真值的概率为 范围包含真值的概率为 范围包含真值的概率为 平均值的标准偏差 比任何一次测量值 的标准偏差 小, 增加测量次数,可以 减少平均值的标准 偏差,提高测量的准 确度. 但是,n10以后,n再 增加， 减小缓 慢,因此,在物理实 验教学中一般取n为 610次 s 0 510 n 15 51015 s 测量次数对 的影响 在数理统计上, 描述具有单峰、 有界、对称的统计函数.叫正态分 布函数。常用来解释随机量测量 过程中的随机行为与规律.在测量 次数趋于无穷时，有： 偶然误差 标准偏差 o 大 式中 表示测量 的偶然误差,是标 准偏差,其数值标 志误差的离散程度 。 测量次数n 从算术平均值的标准偏差 的公式可知，测量次数越多，标准偏差越 小，所以，增加测量次数n对提高平均值的 价值是有利的，但是测量次数不是越多越 好，因为增加测量次数n，测量时间就要延 长，实验环境可能出现不稳定，眼睛也要 疲劳，就会引入新的误差，一般地，在偶 然误差较大的测量中要多测几次，否则， 可少些，一般取4-10次即可。 4.坏值的剔除 格罗布斯判据：此判据给出一个和数据个数n相 关的系数Gn。当已知数据个数n，算术平均值 和测量列的标准偏差s ，则可以保留的测量值 的范围为 也可用拟合式计算Gn值： n30时取： 3.测量不确定度 测量的理想是获得被测量在测量条件 下的真值。由于各种因素的影响，测量值 始终偏离真值。在报道被测量结果时，由 于报道的是被测量的近真值，所以，应同 时报道对它的可靠性的评价，即给出测量 质量的指标不确定度（由于测量误差的 存在而对被测量量值不能肯定的程度）。 它表征对被测量的真值所处的量值范围的 评定。 设测量值为x，测量的不确定度为u，则 真值的可能的取值范围是：（x-u，x+u） 。此范围越窄，测量的不确定度就越小， 用测量值表示真值的可能性就越高。 对测量不确定度的评定，通常用估计标 准偏差来表示大小，称其为标准不确定度 。由于测量误差的产生原因不同，标准不 确定度引入了A、B两类不同的评定。 3.A类标准不确定度（统计不确定度） A类评定是针对偶然误差所引起的不确定度进行 评定（采用统计方法）。在评定时，标准不确 定度 用算术平均值的标准偏差 表示即 按误差理论的高斯分布，如果不存在其它 误差的影响，有： 范围内包含真值的概率为 范围内包含真值的概率为 .2 B类标准不确定度 B类评定是针对系统误差所引起的不确定度 进行的评定（非统计方法）这类评定方法，有 的依据仪器计量书、检定书或仪器的准确度登 记，有的依据仪器的分度值或经验。通过这些 信息可以获得极限误差，并以 为均匀分 布的标准差。因此，B类评定标准不确定度为： 一般来讲，为计量仪器的最小分度值。严格 讲，利用上式求B类标准不确定度变换系数与实 际分布有关，但我们都按均匀分布作近似处理 。 .3合成标准不确定度 实际上，对任一物理量的测量由于测量不确 定度的来源不止一个，所以，要对标准不确定度 进行合成。合成时A、B类标准不确定度遵从等价 性原则，采用方和根合成法。 对于直接测量 设被测量X的标准不确定度的来源 有k项，则合成标准不确定度为 对于间接测量 设被测量Y由m个直接被测量 x1、x2、xm算出， 即 各分量 的标准不确定度为 如果间接测量量和直接测量量之间的函数关系是 幂函数关系，即 。则有： 3.4单次测量的误差估计 前面我们讲的都是在同一条件下的多次测 量的误差估计及计算。但在物理实验中经常遇 到一些不能多次测量的量，如测量热敏电阻的 电阻-温度特性，温度的测量只能是一次性的 ，相应的电阻的测量也只能是一次性的，又如 仪器的精度较低，或被测对象温稳定，多次测 量的结果并不能反映测量结果的随机性，即多 次测量已经失去意义。在这些情况下，我们往 往只做单次测量，则不确定表示为： 。其中是估读误差，由仪器的精度和测量者 的生理条件（如眼睛的分辨能力）共同决定。 4.测量结果的报道 测量结果最后要用不确定度表示成： （单位） 或用相对不确定度（ ）表示为： （单位） 测量之后，一定要计算不确定度，在以偶然误 差为主的情况下，可以只计算A类标准不确定度 为总的标准不确定度；在以系统误差为主的情 况下，可以只计算B类标准不确定度为总的标准 不确定度。在不知道仪器的容许误差时，用仪 器的分度值（最小刻度值）代替。 .不确定度应用举例 例.用螺旋测微计测一铁球的直径 测量记录：螺旋（o.5310),零点读数.mm d/mm 13.21713.20813.21813.209 13.21513.20713.21313.215 解： 由格罗布斯判据可保留的 数据范围为 及数据范围为： 审查结果数据均可保留，零点补正后的结果 分析不确定度来源 .多次测量 .螺旋测微计误差 （根据JJG21-86)千分尺的标准误差 合成标准不确定度 测量结果 例2.用单摆测重力加速度 。设摆长为 ，摆动 次 的时间为 则 记录：用钢卷尺测摆线长 （测1次） 用游标卡尺测摆球直径为 （测1次） 摆动50次时间 ，停表精度为 ，摆幅小于 。 ：99.3299.3599.2699.22 解 按格罗布斯判据 经审查 值均在此范围，因此均可保留。 不确定度分析计算： （1） 的标准不确定度 a.来源于卷尺（参照JJG4-89） 游标卡尺引入的不确定度较小（ ），忽略 则 b.来源于目测 ，估为 则 （2） 的标准不确定度 a.重复测量 秒表引入（参照JJG1.7-83）的 ， 故 则 合成 的标准不确定度 测量结果 第二章第二章 有效数字及运算有效数字及运算 1有效数字的概念 1.有效数字的定义 测量时得到的所有可靠数字加上第一位可疑数字构 成测量结果的有效数字.如:用米尺测量长度:2.56厘米 (3位);用停表测量的时间:35.26秒(4位),结果的最后一 位就是可疑数字. 有效数字=可靠位(数字)+可疑位(数字) 有效数字来源 于测量时所用的 仪器。测量的任 务是使测量值尽 可能准确地反映 出它的真实值。 （2）在最小刻度之间 可估计一位。 可疑位 可靠位 （1）以刻度为依据可 读到最小刻度所在位。 35 36 (cm) 11位置为位置为35.00cm35.00cm, , 不能写成不能写成 35cm35cm。 1 22位置为位置为35.40cm35.40cm 2 3 3位置介于35.7- 35.8之间,最接近真 实位置的值,既不是 35.7,也不是35.8, 而是35.7 - 35.8 之间的某值,可以估 计为35.75. 35.76 35.77，不妨取35.76 cm。 估计值只有一位，所以也叫可疑数位估计值只有一位，所以也叫可疑数位 或欠准数位。或欠准数位。 （1）有效数字位数与小数点位置及单位换算无关. 35.76cm = 0.3576m = 0.0003576km （2）“0”的地位 当“0”不是表示小数点位置时为有 效数字,因此数据后的0不能随便加上也不能随便减去 2.有效数字的特点 0.0003576 3.005 3.000 都是四位 “3”前面的0不是有效数字而中间和后面的0是有效数字, 数字后的0不能省略. (3)有效数字位数反映仪器的精度 有效数字位数越多,仪 器的精度越高.如,测一长约为10mm的长度: 10.0mmm(米尺) 10.01mm(游标卡尺 ) 10.012mm(千分尺) (3位) (4位) (5位) (1)任何数都可表示成: 将有效数字首位作 个位,其余各位均位于小数点后 ,再乘以10的方幂如 (2)数量级:在科学计数法中,不考虑 的大小,只看的 方次.如, 与 就是同一个数量级. 4.有效数字的科学书写(浮点计数法) 进行直接测量时，由于仪器多种多样，正确读取有进行直接测量时，由于仪器多种多样，正确读取有 效数字的方法大致归纳如下：效数字的方法大致归纳如下： 1、对分度式仪表，一般读数应读到最小分度以下再估 读一位。例如，1/2，1/5，1/4，1/10等。 2、有时读数的估计位，就取在最小分度位。例如，仪 器的最小分度值为0.5，则0.1-0.4,0.6-0.9都是估计 的，不必估到下一位。 3.有效数字的读数规则 3、游标类量具，读到卡尺分度值。多不估读，特殊情 况估读到游标分度值的一半。 4.数字式仪表及步进读数仪器不需估读。如数字万用表 5.若测得值恰为整数，必须补零，直补到可疑位。如 用米尺测5毫米的长度，就应补为5.0mm。 1. 1. 误差的有效数字误差的有效数字 一般情况下误差的有效数字取一位，并且只 入不舍。精密测量情况下，误差的有效数字可取二 位。如， ，就应取为 。 2. 2. 测量结果的有效数字测量结果的有效数字 测量结果的有效数字的末位与误差首位取齐。 如， 3. 3. 尾数的舍入规则：四舍六入五凑偶尾数的舍入规则：四舍六入五凑偶 具体实例见具体实例见P P22 22 4.舍入法则 2 有效数字的运算规则 1.加减运算后的有效数字 运算原则：（1）可靠数字与可靠数字运算 后仍为可靠数字；（2）可靠数字与可疑数字运 算后为可疑数字；（3）可疑数字与可疑数字运 算后仍为可疑数字。 加减运算后的末位，应和参与运算各数中最先出现 的可疑位对齐。例如： 2.乘除运算后的有效数字 乘除运算后的有效数字位数，可和参与运算各数中 有效数字位数最少的对齐。例如： （1） （2） 3.乘方、开方后的有效数字 乘方、开方后的有效数字位数一般与底数的有效数 字位数相同。例如： 4.使用有效数字的注意事项 参见教材 实验中,被记录下来的原始数据还需 经过适当的处理和计算才能反映出事物 的内在规律或得出测量值,这种处理的 计算过程称为数据处理。数据处理的 方法很多,可根据不同的需要进行选择 。 第三章数据处理 11数据处理的基本方法数据处理的基本方法 一一. .列表法列表法 把数据按一定的规律列成一一对应的表格，可 以使物理量之间的关系简单、明了、有助于发现 其间的规律，比如，递增或者递减。要求数据清 晰，不能涂改，单位规范，并加必要说明。列表 要求： 1、表格设计力求合理、简明、便于观察； 2、各栏目中的物理量应注明名称和单位； 3、各量的排列应按自变量递变（或测量）的顺序 ，以便寻找规律； 4、表中所列数据要正确反映测量结果有效数字。 下面是电阻的温度随时间变化关系记录表格 关系记录表 15.020.025.030.035.040.0 45.0 50.0 28.0528.5229.1029.5630.1030.5731.00 31.62 二二 作图法作图法 1.作图规则： 实验中所得到的一系列测量数据，也可以用图线直观地 表示出来，作图法就是在坐标纸上描绘出一系列数据间 对应关系的图线。它是研究物理量之间变化规律，找出 对应的函数关系，求经验公式的常用方法之一。 （1）选坐标纸 坐标纸的种类很多，有直角坐标纸、对 数坐标纸、极坐标纸等等，应根据不同的实验内容和函 数关系进行选择，最常用的是直角坐标纸。 （2）定坐标 通常用横坐标表示自变量，纵坐标表 示因变量。标明x、y轴所代表的物理量的名称（符号 ）、单位，坐标的原点不一定是变量的零点。标度的 数值要和实验数据的有效数字位数一致。选定比例时 ，应使最小分格代表1、2、5 个单位。 （3）标点 根据测量数据，找到每个实验点在坐标纸 上的位置，用铅笔以“”或“ ”标出各点坐标。 （4）连线 将测量点连成直线或光滑的曲线。连线 时按偶然误差的分布规律，曲线不一定要通过所有的数 据点 而是将各数据点均匀的分布在直线（或曲线）的 两侧。对明显偏离曲线的点应按数据处理理论分析后进 行取舍。 （5）写出图纸名称 在图纸的空白处标明图纸的名称。 2.用图解法求直线的斜率、截距及经验公式 （1）对线性关系数据求直线的斜率时,应在直线上选相 距较远的两新点A.B标明位置及坐标A(X1 Y1), B(X2 Y2) 由此求得斜率 如果横坐标的起点为零，则直线的截距可从图中直接读出 ；如果横坐标的起点不为零，则可用下式计算计算截距： （3）将求得的k、b代入直线方程 中就得到经 验公式。 （4）对非线性关系数据，可先对曲线改直后再作线性处 理。如， ，就可令 。则，曲 线就变为 （此时 ） 。 下面以作图求解处理伏安法测电阻： 作图法示例伏安法测电阻 伏安特性曲线 （ 图） 三.逐差法 逐差法是对等间距测量的有序数据，进行逐项或相等间隔项相减逐差法是对等间距测量的有序数据，进行逐项或相等间隔项相减 得到结果。计算简便、并可充分利用测量数据，及时发现错误，得到结果。计算简便、并可充分利用测量数据，及时发现错误， 总结规律，也是物理实验中常用的一种数据处理方法。总结规律，也是物理实验中常用的一种数据处理方法。 下面以拉伸法测弹簧的倔强系数为例，说明如下：下面以拉伸法测弹簧的倔强系数为例，说明如下： （1 1）验证函数形式是线性关系）验证函数形式是线性关系 把所测的数据逐项相减，即把所测的数据逐项相减，即 看看 是否基本相等。如果是否基本相等。如果 基本相等，就验证了基本相等，就验证了 外力与弹簧的伸长量之间的函数关系是线性的，即外力与弹簧的伸长量之间的函数关系是线性的，即 设试验中等间隔地在弹簧下加砝码（如每次加一克），共加设试验中等间隔地在弹簧下加砝码（如每次加一克），共加9 9次次 ，分别记下弹簧下端点对应的位置，分别记下弹簧下端点对应的位置 ，则可用逐差，则可用逐差 法进行以下处理：法进行以下处理： 用此法可检查测量结果是否正确，但必须逐项逐差。用此法可检查测量结果是否正确，但必须逐项逐差。 （2 2）求物理量数值）求物理量数值 现计算每家一克砝码时弹弹簧的平均伸长量，有现计算每家一克砝码时弹弹簧的平均伸长量，有 从上式可看出，中间的测量值全部抵消了，只有始末两次测量值从上式可看出，中间的测量值全部抵消了，只有始末两次测量值 起作用，与一次加起作用，与一次加9 9克砝码的测量完全等价。克砝码的测量完全等价。 为了保证多次测量的优点（多次测量取平均值可减小偶然误差）为了保证多次测量的优点（多次测量取平均值可减小偶然误差） ，可将偶数项数据进行分段逐差，方法如下：，可将偶数项数据进行分段逐差，方法如下： 将等间距的测量数据平均分成前后两组将等间距的测量数据平均分成前后两组 前一组为前一组为 后一组为后一组为 将前后两组相减为将前后两组相减为 再取平均值再取平均值 由此可见由此可见, ,这时每个数据都用上了这时每个数据都用上了. .但是但是, ,这里的这里的 是增加是增加5 5 克砝码时弹簧的伸长量克砝码时弹簧的伸长量. .故分段逐差可以充分利用测量数据，具故分段逐差可以充分利用测量数据，具 有对数据取平均减小误差的效果有对数据取平均减小误差的效果. . 四四. .最小二乘法最小二乘法 由一组实验数据找出一条最佳的拟合直线由一组实验数据找出一条最佳的拟合直线( (或曲线）或曲线）, ,常用常用 的方法是最小二乘。所得到的变量之间的函数关系称为回归方的方法是最小二乘。所得到的变量之间的函数关系称为回归方 程。我们只讨论用最小二乘法进行一元线性回归问题。程。我们只讨论用最小二乘法进行一元线性回归问题。 两个物理量之间的线性关系通常为：两个物理量之间的线性关系通常为： 由于测量有误差，因此：由于测量有误差，因此： 只要选择恰当的只要选择恰当的 和和 ，可使得直线的误差最小。为此将上述，可使得直线的误差最小。为此将上述 各式求平方和：各式求平方和： 的最小二乘法估计值，就是满足的最小二乘法估计值，就是满足 极小，求出的估计值极小，求出的估计值 即：即： 联立两式求解，即可找出拟合直线联立两式求解，即可找出拟合直线 的斜率和截距的的斜率和截距的 最佳估计值：最佳估计值： 令：令： 代入上式，则代入上式，则 关联系数关联系数 是数据点靠近直线的拟合程度是数据点靠近直线的拟合程度 15.020.025.030.035.040.0 45.0 50.0 28.0528.5229.1029.5630.1030.5731.00 31.62 例：已知电阻丝的阻值随温度变化的关系为例：已知电阻丝的阻值随温度变化的关系为 其中其中 是常数。是常数。 电阻丝的阻值随温度变化数据如下表。分别用图解法和最小二乘电阻丝的阻值随温度变化数据如下表。分别用图解法和最小二乘 法求解法求解 拟合直线方程（经验方程）。拟合直线方程（经验方程）。 关系数据记录关系数据记录 解：解：（1 1）图解法）图解法 根据温度和阻值的变化范围选择根据温度和阻值的变化范围选择40404040的直角坐标纸。取自的直角坐标纸。取自 变量变量 t t 为横坐标，起点为为横坐标，起点为 ，因变量，因变量 R R 为纵坐标，起点为为纵坐标，起点为 2828建立坐标。将建立坐标。将8 8个数据点一一对应描点连线，如图。个数据点一一对应描点连线，如图。 10102020303040405050 2828 2929 3030 3131 3232 R(R( ) ) t( )t( ) 故有故有 在直线上两点在直线上两点(19.0,28.40),(43.0,30.90),(19.0,28.40),(43.0,30.90),则则: : (2)(2)最小二乘法最小二乘法 解解: :由于由于 令令 : : 则上式为则上式为: : 由计算有由计算有 : : 最小二乘法公式有最小二乘法公式有 故有故有 由此可见由此可见,R,R与与t t 之间有较好的线性关系之间有较好的线性关系, ,即相关程度较好即相关程度较好. . 请记住：我们不是要一个塞满东请记住：我们不是要一个塞满东 西的脑袋，而是要一个善于分析的头西的脑袋，而是要一个善于分析的头 脑！我们不仅要有知识，更重要的是脑！我们不仅要有知识，更重要的是 将知识转化为能力！将知识转化为能力！ 实验一实验一 长长 度度 测测 量量 实验目的实验目的 1.1.练习使用长度测量的几种常用仪器；练习使用长度测量的几种常用仪器； 2.2.练习原始数据的记录和不确定度的计算。练习原始数据的记录和不确定度的计算。 仪器用具仪器用具 （1 1）构造原理）构造原理： 游标是将主尺的（游标是将主尺的（n-1)n-1)个分格，分成为个分格，分成为n n 等分（等分（n n分游标）。分游标）。 是游标的分度值。是游标的分度值。 比如比如n=50n=50的的5050分游标，主尺的最小刻度为分游标，主尺的最小刻度为1 1毫米毫米 则游标的分度值为则游标的分度值为 ，即游标上一，即游标上一 格为格为0.020.02毫米。毫米。 （2 2）读数原理）读数原理: : 游标卡尺读数分两步：游标卡尺读数分两步：从游标零线位置读出毫米从游标零线位置读出毫米 的整数部分；的整数部分； 从游标与主尺对齐的刻线处读出不足毫米的从游标与主尺对齐的刻线处读出不足毫米的 小数部分小数部分 二者相加就是测量值。二者相加就是测量值。 比如，下图为50分游标的测量值： 游标读数的精度取决于其分度值 ， 为了提高测量精度就要制造n较大的游标，一 般实用的有标有n等于10、20、50三种， 在用游标卡尺测量之前，应先把量爪A、B合拢、检查游 标卡尺的“0”线是否与主尺“0”重合。如不重合，应记 下零点读数，加以修正，即待测量 。其中， 为未作零点修正前的读数值， 为零点修正，可以正，也 可以负。 其分度值即精密度分别为0.1mm、0.05mm、 0.02mm。 注意：零点读数注意：零点读数 2.2.螺旋测微计螺旋测微计（千分尺）（千分尺） （1 1）构造原理：）构造原理： 螺旋每转一周将前进（或后退）一个螺距，对于螺螺旋每转一周将前进（或后退）一个螺距，对于螺 距为距为0.5mm0.5mm的螺旋，如果将它的一周分为的螺旋，如果将它的一周分为5050个刻度，个刻度， 则当它转动一个分度时，螺旋将移动则当它转动一个分度时，螺旋将移动 。 借助螺旋的转动将螺旋的角位移转变为直线位移可借助螺旋的转动将螺旋的角位移转变为直线位移可 进行长度的精密测量。进行长度的精密测量。 注意事项 (I)记录零点读数，并对测量数据作零点修正。螺 旋测微器的零点可以调整，各种牌号的螺旋测微器 调零点的方法不同，可见仪器说明书。 (2)记录零点及将待测物体夹紧测量时，应轻轻转 动棘轮旋柄推进螺秆，不要直接拧转螺旋柄，以免 夹得太紧，影响测量结果及损坏仪器。转动小棘轮 时，只要听到发出喀喀的声音，就不要再推进螺杆 ，即可读数。 （2 2）读数原理：）读数原理： 螺旋测微计读数也分两步：螺旋测微计读数也分两步：从活动套管前沿在固定从活动套管前沿在固定 套管上的位置读出半毫米的整数部分；套管上的位置读出半毫米的整数部分；从固定套管从固定套管 上的横线所对应的活动套管上的分格数，读出不到一上的横线所对应的活动套管上的分格数，读出不到一 周的小数部分。二者相加即为测量值。下面为螺旋测周的小数部分。二者相加即为测量值。下面为螺旋测 微计读数示意图：微计读数示意图： 零点读数零点读数 3.3.移测（读数）显微镜移测（读数）显微镜 读数显微镜是将测微螺旋（或游标）与显微镜组合读数显微镜是将测微螺旋（或游标）与显微镜组合 起来作为精确测量长度用的仪器。起来作为精确测量长度用的仪器。 实验室用的数显读数显微实验室用的数显读数显微 镜，就是用显微镜镜，就是用显微镜 和游标（精度位和游标（精度位0.02mm)0.02mm)组组 合而成。读数为两合而成。读数为两 次叉丝对准待测物端点时次叉丝对准待测物端点时 游标的读数差游标的读数差 将待测件置于工作台上，旋转反光镜调节手将待测件置于工作台上，旋转反光镜调节手 轮，改变反光镜的角度，使反光镜将待测件照亮。轮，改变反光镜的角度，使反光镜将待测件照亮。 旋转目镜，改变目镜与叉丝之间的距离，直至十旋转目镜，改变目镜与叉丝之间的距离，直至十 字义丝成像最清晰。字义丝成像最清晰。 旋转调焦手轮旋转调焦手轮(D)(D)，由下而，由下而 上移动显微镜简，改变物镜到待测件之间的距离，上移动显微镜简，改变物镜到待测件之间的距离， 使待测件通过物镜成的像恰好在叉丝平而上，直到使待测件通过物镜成的像恰好在叉丝平而上，直到 在目镜中能同时看清叉丝和放大的、清晰的、待测在目镜中能同时看清叉丝和放大的、清晰的、待测 件的像并消除视差为止。件的像并消除视差为止。 (2)(2)使用步骤。使用步骤。 转动侧微鼓轮转动侧微鼓轮(A)(A)，使目镜中的纵向叉丝对准，使目镜中的纵向叉丝对准 被测件的起点被测件的起点( (另一条叉丝和镜简的移动方向平行另一条叉丝和镜简的移动方向平行) ) 电子表上读数。沿同方向继续转动测微鼓轮移动电子表上读数。沿同方向继续转动测微鼓轮移动 显微镜筒，使十字叉丝的纵丝恰好停在被测件的终显微镜筒，使十字叉丝的纵丝恰好停在被测件的终 点，读得终点读数。于是被测件的点，读得终点读数。于是被测件的 长度长度 。为提高精度，可重复测量取其平均值。为提高精度，可重复测量取其平均值。 选用适当的仪器进行以下测量：选用适当的仪器进行以下测量： （1 1）测量钢球的直径；）测量钢球的直径； （2 2）测量空心园柱体的体积；）测量空心园柱体的体积； （3 3）测量细铁丝的直径。）测量细铁丝的直径。 实验内容实验内容 注意：注意：使显微镜的移动方向和被测二端点的使显微镜的移动方向和被测二端点的 联线平行；联线平行；防止回程误差。防止回程误差。 实验三实验三 精精 密密 称称 衡衡 实验目的实验目的 1.1.使用分析天平进行精密称衡；使用分析天平进行精密称衡； 2.2.练习精密称衡中的系统误差分析及补正。练习精密称衡中的系统误差分析及补正。 实验仪器实验仪器 分析天平分析天平 待测物待测物 物理天平物理天平 1g1g以下的砝码太小，用起来很不方便，所以以下的砝码太小，用起来很不方便，所以 在横梁上附有可以移动的游码在横梁上附有可以移动的游码D D。横梁上每个分。横梁上每个分 度值为度值为50mg50mg。横梁下部装有读数指针。横梁下部装有读数指针J,J,立柱立柱H H上上 装有标尺装有标尺S S。根据指针在刻度标牌上的示数来判。根据指针在刻度标牌上的示数来判 断天平是否平衡。横梁两端有螺母断天平是否平衡。横梁两端有螺母E E和和E E用来调节用来调节 平衡。平衡。 我们常用的物理天平最大称量为我们常用的物理天平最大称量为500g500g 为了便于某些实验，在底板左面装有托架为了便于某些实验，在底板左面装有托架Q Q。 例如，用阿基米德原理测量物体的体积时，可将例如，用阿基米德原理测量物体的体积时，可将 盛有水的烧杯放在托架上，以便于将物体浸沉在盛有水的烧杯放在托架上，以便于将物体浸沉在 水中进行称衡。水中进行称衡。 物理天平的操作规则物理天平的操作规则 (1)(1)天平的负载量不得超过其最大称量，以免损坏天平的负载量不得超过其最大称量，以免损坏 刀口或压弯横梁。刀口或压弯横梁。(2)(2)为了避免刀口受冲击而损坏为了避免刀口受冲击而损坏 ，必须切记：必须切记：在取放物体、取放珐码、调节平衡螺在取放物体、取放珐码、调节平衡螺 母母E E和和E E以及不使用天平时，以及不使用天平时，都必须将天平止动。都必须将天平止动。只只 是在判断天平是否平衡时才将天平启动。天平启、是在判断天平是否平衡时才将天平启动。天平启、 止动时动作要轻，止动时最好在天平指针接近标尺止动时动作要轻，止动时最好在天平指针接近标尺 中间到度时进行。中间到度时进行。(3)(3)砝码不得用于拿取，只准用砝码不