物理奥赛：力学物体的平衡.ppt

第三专题 物体的平衡 解题知识与方法研究 疑难题解答研究 例题6 例题7 例题8 一、两种常见的约束 三、静摩擦角的应用 二、利用对称性确定力的方向 四、多摩擦点何处“打滑”的确定 1、光滑铰链 1-1、概念：使物体上的一点保持不动的一种约束. 1-2、分类：为柱铰链和球铰链两种. 一、两种常见的约束 解题知识与方法研究 图1、图2为柱铰链， 图3为球铰链. 铰链实例： 1-3、性质: （1）光滑铰链与物体间 的作用力 (弹力)通过铰链的中心（“销”心或球心） 物体绕铰链自 由转动实例： 铰链的施力 与受力实例： 受力 施力 施力 受力 受力 施力 （2）物体可绕柱铰链无摩擦地在二维平面内自由转动, 可绕球铰链无摩擦地在三维 空间自由转动. 2、连杆 2-1、概念： 一根轻杆，其两端分别用光滑铰链和两物体相连，仅可两端受力. 2-2、性质： （1）无论静止还是运动，其两端受力必为一对平衡力，方向沿杆长方向. （2）通过连杆，只能沿杆长方向向其他物体施力. 连杆实例： 连杆施力 你能不能证明 这一性质？ 连杆受力 例1 如图所示的水平放置的由五根轻杆和一个拉力器构成的正方形框架. A、B、C、 D四处由铰链连接，AC杆和BD杆交汇处不连接. 如果调解拉力器，使它产生拉力为T， 问：各杆受到的力是拉力还是压力？各力的大小等于多少？ 解 AB杆： AD杆： 对铰链A的拉力TAB(=T)必然水平向右. 对铰链A的力不能是向上的压力，只能 是向下的拉力TAD. AC杆：对铰链A只能是压力TAC，方向沿CA. 进而可得到 根据对称性可知： BD杆： 对铰链B的压力TBD=TAC=T, 方向沿DB. DC杆： 对铰链D的拉力TDC=TAB=T, 方向向右. BC杆： 对铰链B的拉力TBC=TAD=T, 方向向下. 要使AB和AD杆的合力T(AB、AD)与TAC反向且等大， 必须 A B D C 例2 四个质量相同的小球A、B、C、D用相同长度的轻质刚性细杆光滑铰接成一个 菱形，开始时菱形为正方形，在光滑的水平面上沿着对角线AC方向以速度v作匀速运动. 如图所示，在它前方有一与速度方向垂直的粘性固定直壁，C球与其相碰后立即停止运 动. 试求碰后瞬间A球的速度vA. v A B D C 解 碰后瞬间各球的运动如图. 设碰撞中C球所受的冲量为I，则对整个系统 由动量定理得 A、B、D球的速度有关系 将 代入化简得 设碰撞时C球受到DC、BC杆的冲量为I. 对C 球由动量定理得 即 A B D C BC杆、DC杆同时对B、D球也有冲量I. 即 由、式 题后思考 此结果有点意外， 该如何解释? （或D）球，在BC（或DC）方向上由动量定理有 对B 便可解出 二、利用力学平衡系统结构的对称性确定力的方向 例 如图，三根不光滑的质量、形状完全相同的 杆对称的架立在水平不光滑地面上. 试确定各杆受其 他杆的作用力的方向？ 你认为是哪种情况？为什么？ 对称：系统的某种属性、状态经某种操作（或变换）后能保持不变，便称系统的这 种属性、状态对此操作（或变换）具有对称性（或者说是对称的）. 三力斜向上 三力斜向下 三力水平 A 例3 图5所示的机构由两长两短的四根轻杆通过光滑铰链连接而成, 四根杆的尺寸已 在图中标出. 机构竖放在光滑水平面上. W和P、P 为所加的外力, 求： （1）平衡时 与 的关系; （2）铰链O对所连接的两杆的作用力. B C ONN 如图，AB杆为二力轻杆，其A端受力FA、沿 AB方向，B端受力FB沿BA方向. 于是有 解 （1） 分解W得 BE杆的B端受力 与 为作用与反作用力， 由 得 即 FB 故 BE杆是不是二力连杆？ 研究AB杆： 研究BE杆： 能否判断铰链O 对连接的两杆的 作用力的方向？ 对整个机构，由 得 由 解得 （2）据 对称性可知铰链O对BE杆的 作用力沿水平方向. 由 知 方向向右. 铰链O对CD杆的作用力大小为 方向水平向左. 题后总结与思考 综合利用了对称性分析和连杆的性质 假定FBE倾斜，进行计算，看看结果？ A B C ONN FBE FB 三、静摩擦角的应用 1、静摩擦角的概念 1-1、定义： 1-2、几何意义： 最大静摩擦力fm和正压力N 的合力与接触面法向夹角. N f （即全反力R与接触面法向的最大夹角) 全反力 2、用静摩擦角解题有时较简便 fm R 1-3、重要性质 静摩擦角的大小取决于两接触面的性质！ 物体静平衡时 物体滑动时 例4 如图所示，有一长为l，重为W0的匀质杆AB，A端顶在竖直的粗糙墙壁上， 杆端与墙壁的静摩擦系数为0 , B端用一强度足够而不可伸长的轻绳悬挂，绳的另一 端固定在墙壁的C点. 杆呈水平状态，绳与杆的夹角为. （1）求杆能保持平衡时0与应满足的条件; （2）杆保持平衡时，杆上有一点P存在：若在P点与A点之间的任一点悬挂一重物， 则当重物的总量W足够大时总可以使平衡被破坏; 而在P点与B点之间的任一点悬挂任意 重量的重物，都不能使平衡破坏. 求出这一点P与A点的距离. 解一（摩擦角方法） （1） T A B C W0 由力的平衡条件及对称关系知 R N f 既然杆能保持平衡， 所以应有 即 杆未挂重物时受力如图 你能否准确确定R的方向？ A B C T W0 （2）杆挂上重物W时 研究重物挂在何处能使 1、R和N的夹角 0 2、R和N的夹角0 P 作出墙壁和杆间的静摩擦角0 =BAD. 又作DP AB，所得交点P 即为所求. 若重物W挂在P、B之间： W W D D2 W2W1 D1 R R 无论W多大，均有0. 若重物W挂在P、A之间： 当W足够大时，就能使0. 由几何关系得 由此解得 W 解二（分析法） A B C W0 挂上重物W（W可以为零）后，杆受力如图 由于杆未滑动，故 由 、 消去T得： T f W N P d 由 、 消去f 得： 将、代入得： 按W、W0整理后得： 通过讨论W 和 d 对此式的影响来回答问题： （1）若不挂重物（W=0）： 则有 所以 （2）在成立时挂重物（W0)： 此时式左端 、此时只要式右端的则无论W多大，式均成立. A B C T W0 f W N P d 于是得 、此时如果式右端的则当W足够大时，可使不成立. 于是得 综上可知： 题后总结 本题用“摩擦角法”较简单； 但当多点摩擦时一般更适合“分析法”. A B C 1、实例 判断何接触处的静摩擦力先达到 最大： 2、处理的方法 四、多摩擦点何处“打滑”的判断 假定一处静摩 擦力达到最大 根据平衡条件计 算他处的摩擦力 与他处的最大静 摩擦力比较大小 例5 有一木板可绕其下端的水平轴转动，转轴位于一竖直墙上，如图所示. 开始时 木板与墙面的夹角为15，在夹角中放一正圆柱形木棍，截面半径为r，在木板外侧加一 力F使其保持平衡，在木棍端面上画一竖直向上的箭头. 已知木棍与墙面之间和木棍与木 板之间的静摩擦系数分别为1=1.00, 2= 若板缓缓地减小所加的力F，使夹角 慢慢张开，木棍下落. 问当夹角张到60时，木棍端面上的箭头指向什么方向？ 解 当F逐渐减小时， 板、墙给棍的摩擦 方向如何，大小如 何变化？ 判 断 当压力减小到一定程度， 棍受力如图. 要使棍与墙接触点先滑，则此时有 而 将 代入得 由得 由 两式得 此式成立则左边先滑. 设 取临界角0时有 将1、 2值代入，有 解出 当1530时， 此时棍两侧均达到最大静摩擦. 由上式展开讨论： 即左侧达最大静摩擦 时而右侧未达到（如图1）. 此时棍右滚左滑. （3）当30时， 即实际上左侧尚未达 到最大静摩擦时而右侧早已达到（如图2）.此时棍左滚右滑. 进一步可求得棍截面上的箭头转动的角度. 三非平行力R1、 R2、当棍左侧达到最大静摩擦时， mg共点于D. 如图1. 考虑全反力（代替压力和摩擦力） . 题后总结与思考 两接触点交替打滑是本题的特点和难点； 本题用“摩擦角法”不及“分析法”清晰； 、在原题条件下，若F逐渐增大，会发 生什么现象；、在什么条件下棍会“自锁” ？ 例6 如图所示，平而薄的匀质圆板放在水平桌面上，圆 板绕着过中心O的竖直轴旋转，O相对桌面做水平运动. 如果 圆板与桌面的摩擦系数处处相同，试证明圆板所受摩擦力的合 力方向必与O的运动方向相反. O v0 证明圆板视为由很多面积相等的微小面元组成. 如果圆板中存在速度方向满足图中 关系的两个小面元S和S，此两面 元所受的摩擦力的合力方向与v0的方向 关系怎样？ S S 在圆板中究竟有没有 这样的两个小面元？ 由于圆的对称性，在A处选定S后， S可能应在B、C、D处选择？！ S O v0 x y S S S 疑难题解答研究 x y O A B C D v0 r vA v0 r vB v0 r v0 r vC vD v0 如图，将S 选在与A关于y轴的对称点 B处， 若将S 选在C处，则 S应选在D处. 小面元S、 S 所受摩擦力f、f 的合 力与v0方向相反. fE、H H r v0 但板转动较快（较大）时，是否 在圆板上任选一面元都能在圆板上 别处选出另一面元使二者的摩擦力 的合力与v0的方向相反？ y x o E H fF、G fE、H 注意到此时E、H关于x轴的对称面 元F、G，二者所受摩擦力的合力 fF、G仍必将与v0反向. 当关于y轴的对称面元E、H所受摩擦力的合力与v0同向时，便能在圆板上选出E、 H关于x轴的对称面元F、G，使四者所受摩擦力的合力方向与v0的方向相反. 如图，由速度合成的平行 四边形的几何关系有 所以 由此可知 F G 综上可知，在圆板上任选一小面元： 若该面元的速度方向与v0的方向夹角 90，则能在圆 板的另处对应地选出另一个小面元，使 二者所受的摩擦力 的合力与v0方向相反.（等于90时合力为零） 若该面元的速度方向与v0的方向夹角 90，则能在圆板 的另处对应地选出另三个小面元，使 四者所受的摩擦力的合 力与v0方向相反. O v0 如此不重复、不遗漏地选遍整个圆板，即知圆板所受 摩擦力合力与v0方向相反. 题后思考 对于正方形的、长方形的、椭圆形的薄板，还有此结论吗？ 研究板上哪些区域的点部位所受的摩擦力的沿v0方向的分量 与v0反向？ 例7 如图, 在倾角为 的面积足够大的粗糙斜面上，有一个质量为m的质点，被一 根轻弹性绳拴住，绳的另一端固定在斜面上O点. 弹性绳的形变服从胡克定律. 绳原长 为L，劲度系数为k . 斜面与质点间的静摩擦系数为. 试确定质点在斜面上可静止的区域 (用曲线方程表示）. f N G T O z y x 解建立Ox y z 坐标.质点受力如图， 质点的平衡方程所确定的坐标（x, y) 满足的 区域即为质点静止的区域. 由于当质点距O的距离小于L时绳没有张力， 故将x-y平面分成两个区域研究： 而张力 还应满足 进一步研究利用这些 式子找出（x, y）满足 的方程！ （1） 由： 由 ： 所以 将代入得： 将代入得： 将、代入得： f N G T O z y x （2） 而上述式也是在满足此两式的情况下得出的. 最终可知，曲线 所围的区域都是质点的静止区域. 此区域的具体形状与 的取值有关. 仅需满足 O z y x f N G O K 例8 五根质量与长度均相同的匀质细棒用质量与线度均 可忽略不计的光滑铰链两两首尾连成一个五边形. 今将其一 个顶点挂在天花板下.试求平衡时此五边形的五个顶角. 又若 在最下边的细棒的中点再悬挂一重物，能否使五根细棒构成 一个等腰三角形？ 解 设每根棒质量为m，长为l. T T T mg mg 隔离研究左边两棒的受力情况： 将二者的链接处的受力进行分解，其受力如图所示. 对左边上面的棒： 对左边下面的棒： 又由几何关系得 将此三方程简化为 只需求出图中的1、 2即可 T 由、 两式得 即 代入化简后，令 利用计算器进行一元高次方程的逼近求解 将此三方程简化为 O K T T T mg mg T 0.1 0.2 0.15 0.17 0.171 0.1715 0.5 -0.24 0.16 0.011 0.