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4.3.2 空间两点间的距离公式 问题提出 1. 在平面直角坐标系中两点间 的距离公式是什么？ 2. 在空间直角坐标系中，若已 知两个点的坐标，则这两点之间的距 离是惟一确定的，我们希望有一个求 两点间距离的计算公式，对此，我们 从理论上进行探究. 知识探究（一）:与坐标原点的距离公式 思考1:在空间直角坐标系中，坐标轴 上的点A（x，0，0），B（0，y，0） ，C（0，0，z），与坐标原点O的距 离分别是什么？ x y z O A B C |OA|=|x| |OB|=|y| |OC|=|z| 思考2:在空间直角坐标系中，坐标平 面上的点A（x，y，0），B（0，y，z ），C（x，0，z），与坐标原点O的 距离分别是什么？ x y z O A B C 思考3:在空间直角坐标系中，设点 P （x，y，z）在xOy平面上的射影为M ，则点M的坐标是什么？|PM|,|OM|的 值分别是什么？ x y z O P M M(x,y,0) |PM|=|z| 思考4:基于上述分析，你能得到点 P （x，y，z）与坐标原点O的距离公式 吗？ x y z O P M 思考5:在空间直角坐标系中，方程 x2+y2+z2=r2（r0为常数）表示什么 图形是什么？ O x y z P 知识探究（二）:空间两点间的距离公式 在空间中，设点P1（x1，y1，z1）， P2（x2，y2，z2）在xOy平面上的射影 分别为M、N. x y z O P2 M P1 N 思考1:点M、N之间的距离如何？ 思考2:若直线P1P2垂直于xOy平面， 则点P1、P2之间的距离如何？ x y z O P2 P1 |P1P2|=|z1-z2| 思考3:若直线P1P2平行于xOy平面， 则点P1、P2之间的距离如何？ M N x y z O P2 P1 思考4:若直线P1P2 是xOy平面的一条 斜线，则点P1、P2的距离如何计算？ M N x y z O P2 P1 A 思考5:在上述图形背景下，点P1（x1，y1 ，z1）与P2（x2，y2，z2）之间的距离是 它对任意两点P1、P2都成立吗？ 例1 在空间中，已知点A(1, 0, - 1)，B (4, 3, -1)，求A、B两点之间 的距离. 理论迁移 例2 已知两点 A(-4, 1, 7)和 B(3, 5, -2)，点P在z轴上，若 |PA|=|PB|，求点P的坐标. 例3 如图，点P、Q分别在棱长为 1的正方体的对角线AB和棱CD上运动 ，求P、Q两点间的距离的最小值，并 指
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