二次函数题型分类总结.doc

新 目 标 教 育 二次函数题型总结【回顾与思考】 一、二次函数的定义定义：一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数.（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式）精典例题：例1：在下列关系式中，y是x的二次函数的关系式是（）A2xy+x2=1 By2-ax+2=0 Cy+x2-2=0 Dx2-y2+4=0考点：二次函数的定义分析：根据二次函数的定义对四个选项进行逐一分析即可，即一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a0）的函数，叫做二次函数解答：解：A、2xy+x2=1当x0时，可化为的形式的形式，不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误；B、y2-ax+2=0可化为y2=ax-2不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误；C、y+x2-2=0可化为y=x2+2，符合一元二次方程的一般形式，故本选项正确；D、x2-y2+4=0可化为y2=x2+4的形式，不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误故选C点评：本题考查的是二此函数的一般形式，即一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a0）的函数，叫做二次函数其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a0）也叫做二次函数的一般形式例2：函数y=(m+3)xm2+m-4，当m= 2时，它的图象是抛物线考点：二次函数的定义分析：二次函数的图象是抛物线的，由二次函数的定义列出方程与不等式解答即可解答：解：它的图象是抛物线，该函数是二次函数，解得m=2或-3，m-3，m=2点评：用到的知识点为：二次函数的图象是抛物线；二次函数中自变量的最高次数是2，二次项的系数不为0例3：若y=xm-2是二次函数，则m= 4考点：二次函数的定义分析：根据二次函数的定义列出关于m的方程，求出m的值即可解答：解：函数y=xm-2是二次函数，m-2=2，m=4故答案为4点评：本题考查了二次函数的定义，比较简单，属于基础题学以致用：1、下列函数中，是二次函数的是 . y=x24x+1； y=2x2； y=2x2+4x； y=3x； y=2x1； y=mx2+nx+p； y =错误！未定义书签。； y=5x。2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则t4秒时，该物体所经过的路程为 。3、若函数y=(m2+2m7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为 。4、若函数y=(m2)xm 2+5x+1是关于的二次函数，则m的值为 。二、二次函数的对称轴、顶点、最值考点连接：如果解析式为顶点式：y=a(xh)2+k，则对称轴为： ，最值为： ；如果解析式为一般式：y=ax2+bx+c，则对称轴为： ，最值为： ；如果解析式为交点式：y=(x-x1)(x-x2), 则对称轴为： ，最值为： 。精典例题：例1抛物线y=2x2+4x+m2m经过坐标原点，则m的值为 。考点：二次函数图象与几何变换分析：利用二次函数图象的性质解答：解：经过原点，说明（0，0）适合这个解析式那么m2+2m-3=0，（m+3）（m-1）=0解得：m1=-3，m2=1点评：本题应用的知识点为：在函数图象上的点一定适合这个函数解析式例2若抛物线yax26x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) A. B. C. D.考点：二次函数图象上点的坐标特征分析：由抛物线y=ax2-6x经过点（2，0），求得a的值，再求出函数顶点坐标，求得顶点到坐标原点的距离解答：解：由于抛物线y=ax2-6x经过点（2，0），则4a-12=0，a=3，抛物线y=3x2-6x，变形，得：y=3（x-1）2-3，则顶点坐标M（1，-3），抛物线顶点到坐标原点的距离|OM|=故选B点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先求解析式，再求顶点坐标，最后求距离学以致用：1若直线yaxb不经过二、四象限，则抛物线yax2bxc( ) A.开口向上，对称轴是y轴 B.开口向下，对称轴是y轴 C.开口向下，对称轴平行于y轴 D.开口向上，对称轴平行于y轴2当n_，m_时，函数y(mn)xn(mn)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口_.3已知二次函数y=mx2+(m1)x+m1有最小值为0，则m _ 。三、函数y=ax2+bx+c的图象和性质知识点：（1）当时抛物线开口向上顶点为其最低点；当时抛物线开口向下顶点为其最高点.越大，开口越小。（2）顶点是，对称轴是直线（3）当时，在对称轴左边，y随x的增大而减小；在在对称轴右边，y随x的增大而增大；当时，在对称轴左边，y随x的增大而增大；在在对称轴右边，y随x的增大而减小。（4） 轴与抛物线得交点为(0,) 精典例题：例1：（2002十堰）抛物线y=-x2+2x+1的顶点坐标是_（1，2），开口方向是_ ，对称轴是_x=1考点：二次函数的性质分析：根据二次函数的性质解题解答：解：y=-x2+2x+1=-（x2-2x）+1=-（x2-2x+1-1）+1=-（x-1）2+2，抛物线y=-x2+2x+1的顶点坐标是（1，2），开口方向是向下，对称轴是x=1点评：此题考查了二次函数的性质，顶点坐标、对称轴及开口方向例2：（2010兰州）抛物线y=x2+bx+c图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x2-2x-3，则b、c的值。考点：二次函数图象与几何变换分析：易得新抛物线的顶点，根据平移转换可得原抛物线顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得原抛物线的解析式，展开即可得到b，c的值解答：解：由题意得新抛物线的顶点为（1，-4），原抛物线的顶点为（-1，-1），设原抛物线的解析式为y=（x-h）2+k代入得：y=（x+1）2-1=x2+2x，b=2，c=0故选B点评：抛物线平移不改变二次项的系数的值；讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可学以致用：1试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 。2通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：（1）y=x22x+1 ； （2）y=3x2+8x2； （3）y=x2+x43把抛物线y=2x2+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。4某商场以每台2500元进口一批彩电。如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？四、函数y=a(xh)2的图象与性质知识点回顾：填表：抛物线开口方向对称轴顶点坐标典型例题：例1：抛物线y=x2-4x-3的图象开口 向上，对称轴是 x=2，顶点坐标 （2，-7），函数y有最 小。考点：二次函数的性质。分析：二次函数的二次项系数a0，可以确定抛物线开口方向和函数有最小值，然后利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式就可以得到对称轴，顶点坐标解答：解：二次函数的二次项系数a0，抛物线开口向上，函数有最小值，y=x2-4x-3，根据y=ax2+bx+c的顶点坐标公式为，对称轴是，代入公式求值就可以得到对称轴是x=2，顶点坐标是（2，-7）故抛物线y=x2-4x-3的图象开口向上，对称轴是x=2，顶点坐标（2，-7），函数y有最小值故填空答案：向上，x=2，（2，-7），小点评：本题主要是对抛物线一般形式中对称轴，顶点坐标的考查，是中考中经常出现的问题学以致用：1已知函数y=2x2,y=2(x4)2，和y=2(x+1)2。（1）分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。（2）分析分别通过怎样的平移。可以由抛物线y=2x2得到抛物线y=2(x4)2和y=2(x+1)2？2试写出抛物线y=3x2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。（1）右移2个单位；（2）左移个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。3二次函数y=a(xh)2的图象如图：已知a=，OAOC，试求该抛物线的解析式。五、二次函数的增减性知识点：(1). ，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大。(2). ，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小。典型例题：例1：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图：（1）求函数解析式；（2）写出对称轴，回答x为何值时，y随着x的增大而减少？考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质分析：（1）根据图示知函数经过三点：（-1，0）、（4，0）、（0，-4），将其代入函数解析式，列出关于a、b、c的三元一次方程组，然后解方程组即可；（2）根据图象求得该函数图象的对称轴，然后根据对称轴、函数图象回答问题解答：解：（1）根据图示知，该函数图象经过点（-1，0）、（4，0）、（0，-4），二次函数的解析式是：y=x2-3x-4；（2）根据图象知，二次函数y=x2-3x-4与x轴的交点是（-1，0）、（4，0），对称轴是x=，根据图象知，当时，y随着x的增大而减小点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质解答该题时，采用了“数形结合”的数学思想，要求学生具备一定的读图能力，能从图形中寻取关键性信息例2：（2010呼和浩特）已知：点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是函数图象上的三点，且x10x2x3则y1、y2、y3的大小关系是（）Ay1y2y3 By2y3y1 Cy3y2y1 D无法确定考点：反比例函数图象上点的坐标特征分析：对，由x10x2x3知，A点位于第二象限，y1最大，第四象限，y随x增大而增大，y2y3，故y2y3y1解答：解：中k=-30，此函数的图象在二、四象限，点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是函数图象上的三点，且x10x2x3，A点位于第二象限，y10，B、C两点位于第四象限，0x2x3，y2y3，y2y3y1故选B点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，要学会比较图象上点的坐标学以致用： 1.二次函数y=3x26x+5，当x1时，y随x的增大而 ；当x 2时,y随x的增大而增大；当x 2时，y随x的增大而减少；则当x1时,y的值为 。3.已知二次函数y=x2(m+1)x+1，当x1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 .4.已知二次函数y=x2+3x+的图象上有三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且3x1x20,b0,c0B.a0,b0,c=0C.a0,b0,b0,c 0Bb -2aCa-b+c 0Dc0； a+b+c 0 a-b+c 0b2-4ac0abc 0；其中正确的为（ ） ABCD4.当bbc，且abc0，则它的图象可能是图所示的( ) 6二次函数yax2bxc的图象如图所示，那么abc，b24ac， 2ab，abc 四个代数式中，值为正数的有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 7.在同一坐标系中，函数y= ax2+c与y= (a 0时，y随x的增大而增大，则二次函数ykx2+2kx的图象大致为图中的（ ） A B C D 10.已知抛物线yax2bxc(a0)的图象如图所示，则下列结论中：正确的个数是（ ） a，b同号；当x1和x3时，函数值相同；4ab0;当y2时，x的值只能取0；A1 B2 C3D411.已知二次函数yax2bxc经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限）则直线yaxbc不经过（ ）A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限十、二次函数与x轴、y轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）【回顾与思考】000方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程没有实数根抛物物与x轴有两个交点抛物物与x轴只有一个交点抛物物与x轴没有交点韦达定理：（二者都可以用）典型例题：例1：（2012滨州）抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是（）A3 B 2 C1 D0考点：抛物线与x轴的交点分析：令抛物线解析式中x=0，求出对应的y的值，即为抛物线与y轴交点的纵坐标，确定出抛物线与y轴的交点坐标，令抛物线解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，求出方程的解有两个，可得出抛物线与x轴有两个交点，综上，得到抛物线与坐标轴的交点个数解答：解：抛物线解析式y=-3x2-x+4，令x=0，解得：y=4，抛物线与y轴的交点为（0，4），令y=0，得到-3x2-x+4=0，即3x2+x-4=0，分解因式得：（3x+4）（x-1）=0，解得：，抛物线与x轴的交点分别为，综上，抛物线与坐标轴的交点个数为3故选A点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，以及一元二次方程的解法，其中令抛物线解析式中x=0，求出的y值即为抛物线与y轴交点的纵坐标；令y=0，求出对应的x的值，即为抛物线与x轴交点的横坐标例2：（2000湖州）已知：抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为（1，-4），（1）求抛物线的解析式；（2）求该抛物线与坐标轴的交点坐标考点：待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点分析：（1）可利用顶点公式把对应的值代入求解，得出a=1，b=-2，c=-3，所以y=x2-2x-3；（2）当y=0时，x2-2x-3=0，解方程可求得与x轴的交点为（-1，0），（3，0）；当x=0时，y=-3，即求得与y轴的交点坐标为（0，-3）解答：解：（1）抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为（1，-4）a=1b=-2，c=-3y=x2-2x-3（2）当y=0时，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，即与x轴的交点为（-1，0），（3，0）当x=0时，y=-3，即与y轴的交点坐标为（0，-3）点评：主要考查了二次函数解析式中系数与顶点之间的关系和二次函数与一元二次方程之间的关系要掌握顶点公式和利用解析式求坐标轴的交点的方法学以致用：1. 如果二次函数yx24xc图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c （写一个即可）2. 二次函数yx2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为 3. 抛物线y3x22x1的图象与x轴交点的个数是( ) A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点4. 如图所示，二次函数yx24x3的图象交x轴于A、B两点， 交y 轴于点C， 则ABC的面积为( ) A.6 B.4 C.3 D.15. 已知抛物线y5x2(m1)xm与x轴的两个交点在y轴同侧，它们的距离平方等于为，则m的值为( ) A.2 B.12 C.24 D.486. 若二次函数y(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方，则m 的取值范围是 7. 已知抛物线yx2-2x-8，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求ABP的面积。十一、函数解析式的求法（一）、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解；例1：图像经过（1，-4），（-1，0），（-2，5），求二次函数的解析式。【解析】：设二次函数的解析式为：，依题意得： 解得：学以致用：1已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（1，1）三点，求该二次函数的解析式。2已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点且BC5，求该二次函数的解析式。（二）、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式：y=a(xh)2+k求解。例2：图象顶点是（-2，3），且过（-1，5），求二次函数的解析式。【解析】：设二次函数解析式为：y = a( x h)2 + k， 图象顶点是（-2，3）h=-2，k=3， 依题意得：5=a( -1 + 2)2+3，解得：a=2 y = 2( x +2)2 + 3=学以致用：3已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，6），且经过点（2，8），求该二次函数的解析式。 4已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，3），且经过点P（2，0）点，求二次函数的解析式。（三）、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(xx1)(xx2)。例2：图像与x轴交于（-2，0），（4，0）两点，且过（1，-），求二次函数的解析式。【解析】：设二次函数解析式为：y = a( x ) ( x ) 图像与x轴交于（-2，0），（4，0）两点， =-2，=4 依题意得：-= a( 1 +2) ( 1 4)a= y = ( x +2) ( x 4)=学以致用： 5二次函数的图象经过A（1，0），B（3，0），函数有最小值8，求该二次函数的解析式。6已知x1时，函数有最大值5，且图形经过点（0，3），则该二次函数的解析式 。7抛物线y=2x2+bx+c与x 轴交于（1,0）、（3,0），则b ，c .8已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交于(2，0)、（4，0），顶点到x 轴的距离为3，求函数的解析式。9y= x2+2(k1)x+2kk2，它的图象经过原点，求解析式 与x轴交点O、A及顶点C组成的OAC面积。10抛物线y= (k22)x2+m4kx的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= x+2上，求函数解析式。十二、二次函数应用1、面积问题，主要利用各种图形的面积公式，如三角形面积底2、利润问题：利润销量（售价进价）其他（一）、二次函数的实际应用利润最大(小)值问题知识要点：定价；（商品调价）；商品销售量1；销售量变化率;其他成本。u 单价商品利润=商品定价商品售价1u （价格变动量）=商品定价商品售价2（或者直接等于商品调价）；u 销售量变化率=销售变化量引起销售量变化的单位价格；u 商品总销售量=商品销售量1销售量变化率；u 总利润（W）=单价商品利润总销售量其他成本例1：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？解：设涨价（或降价）为每件元，利润为元，为涨价时的利润，为降价时的利润则： 当，即：定价为65元时，（元） 当，即：定价为57.5元时，（元）综合两种情况，应定价为65元时，利润最大学以致用：1某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？ 2某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？ x（元）152030y（件）2520103.某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价(元)与产品的日销售量(件)之间的关系如下表： 若日销售量是销售价的一次函数 求出日销售量(件)与销售价(元)的函数关系式； 要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：在“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省)”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；求解方法是依靠配方法或最值公式，而不是解方程4（2006十堰市）市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克由销售经验知，每天销售量(千克)与销售单价(元)(）存在如下图所示的一次函数关系式 试求出与的函数关系式； 设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价的范围(直接写出答案)5（2006年青岛市）在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：销售价x（元/千克） 25 24 23 22销售量y（千克）2000250030003500 （1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点连接各点并观察所得的图形，判断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函数关系式；（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式，并求出当x取何值时，P的值最大？6有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系式；(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q收购总额)？7(2008湖北恩施)为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克市场调查发现，该产品每天的销售量(千克)与销售价(元/千克)有如下关系：=280设这种产品每天的销售利润为(元) (1)求与之间的函数关系式；(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元?（二）、二次函数的实际应用面积最大(小)值问题知识要点：在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。求最值的问题的方法归纳起来有以下几点：1运用配方法求最值；2构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；3建立函数模型求最值；4利用基本不等式或不等分析法求最值例1：在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cms的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cms的速度移动，如果P、Q两点同时出发，