高中数学课件空间直角坐标系.ppt

4.3 空间直角坐标系 4.3.1 空间直角坐标系 1.通过过具体情境,感受建立空间间直角坐标标系的必要性. 2.了解空间间直角坐标标系的建系方法,会用空间间直角坐标标系刻 画点的位置,能在空间间直角坐标标系中求出点的坐标标. 3.感受类类比思想在探索新知识过识过 程中的作用. 1.空间间直角坐标标系 (1)空间间直角坐标标系的要求： 三条轴轴两两_; 三条轴轴两两_; 有_的单单位长长度. 相交 垂直 相同 (2)空间间直角坐标标系的构成要素： 原点：原点O; 坐标轴标轴 ：_轴轴,_轴轴,_轴轴; 坐标标平面：_平面,_平面,_平面. (3)右手直角坐标标系的要求： 右手拇指指向x轴轴的正方向; 右手食指指向y轴轴的正方向; 右手中指指向z轴轴的正方向. xyz xOyyOzxOz 2.空间一点的坐标 空间一点M 有序实数组(x,y,z). 其中_称为横坐标，_称为纵坐标，_称为竖坐标. xyz 1.“判一判”理清知识识的疑惑点(正确的打“”,错误错误 的打 “”). (1)平面直角坐标标系中的两坐标轴标轴 把平面分成四部分,空间间直 角坐标标系中的三个坐标标平面把空间间分成六部分.( ) (2)在平面上画空间间直角坐标标系时时,xOy=135,yOz=90. ( ) (3)给给定空间间直角坐标标系,空间间任意一点与有序实实数组组 (x,y,z)之间间存在唯一的对应对应 关系.( ) (4)右手直角坐标标系是指x轴轴正半轴轴向右方向的坐标标系.( ) 提示：(1)错误.空间直角坐标系中的三个坐标平面把空间分 成八部分. (2)正确.这是空间直角坐标系的常用画法. (3)正确.这是空间直角坐标系的作用. (4)错误.在空间直角坐标系中,对三条坐标轴的方向作如下约 定：伸出右手,拇指指向x轴正方向,食指指向y轴正方向,中指 指向z轴正方向,即建立右手直角坐标系,故此说法是错误的. 答案：(1) (2) (3) (4) 2.“练练一练练”尝试尝试 知识识的应应用点(请请把正确的答案写在横线线 上). (1)点M(2,0,0)所在的位置是 . (2)已知A(2,0,3),B(-2,0,-1),则则AB的中点坐标标是 . (3)z轴轴上的点的坐标标的特点是 . 【解析】(1)由于点M的横坐标为2，纵坐标与竖坐标均为0， 因此点M位于x轴的正半轴上. 答案：x轴的正半轴上 (2)设AB的中点为P(x,y,z)，则由中点坐标公式知 答案：(0,0,1) (3)z轴上的点的共同特点是横、纵坐标都为0. 答案：横、纵坐标都是0 空间间直角坐标标系及其点的坐标标 根据空间间直角坐标标系的相关知识识,探究下列问题问题 ： 探究1：空间间直角坐标标系的建系不同,点的坐标标相同吗吗? 提示：建立坐标系是解题的关键,坐标系建立的不同,点的坐 标也不同,但点的相对位置是不变的,坐标系的不同也会引起 解题过程的难易程度不同,因此解题时要慎重建立空间直角坐 标系. 探究2：在给给定空间间直角坐标标系下,如何确定空间间一点P的坐标标? 提示：过点P作平面xOy的垂线,垂 足为Q,在平面xOy内过点Q分别作x 轴,y轴的垂线确定点P的横坐标, 纵坐标,再过点P作平行于OQ的直 线PM交z轴于点M,确定点P的竖坐标. 探究3：设设点M的坐标为标为 (a,b,c),过过点M分别别作xOy平面, yOz平面,xOz平面的垂线线,那么三个垂足的坐标标分别别如何? 提示：分别是(a,b,0),(0,b,c),(a,0,c). 【探究提升】 1.对空间点的坐标的三点说明 (1)表示空间中点的坐标需要3个实数,即有序数组(x,y,z),且 点与有序数组是一一对应的. (2)若点的坐标有两个0,则该点在坐标轴上. 若仅有一个为0,则该点必在坐标平面内. 若均不为0,则该点既不在坐标轴上,也不在坐标平面内. (3)在空间建立的坐标系不同,同一个点的坐标的表达形式也 不相同. 2.空间一些特殊点的坐标 (1)原点坐标(0,0,0). (2)x轴上的点的坐标为(x,0,0),其中x为任意实数. (3)y轴上的点的坐标为(0,y,0),其中y为任意实数. (4)z轴上的点的坐标为(0,0,z),其中z为任意实数. (5)xOy平面上的点的坐标为(x,y,0),其中x,y为任意实数. (6)yOz平面上的点的坐标为(0,y,z),其中y,z为任意实数. (7)xOz平面上的点的坐标为(x,0,z),其中x,z为任意实数. 类型 一 求空间间中点的坐标标 尝试尝试 完成下列题题目,归纳归纳 在空间间直角坐标标系中确定空间间 一点P的坐标标的步骤骤. 1.在空间间直角坐标标系中,在z轴轴上的点的坐标标可记为记为 ( ) A.(0,b,0) B.(a,0,0) C.(0,0,c) D.(0,b,c) 2.如图图,在长长方体ABCD-ABCD中,|AD|=3,|AB|=5, |AA|=3,设设E为为DB的中点,F为为BC的中点,在给给定的空间间 直角坐标标系Dxyz下,试试写出A,B,C,D,A,B,C,D,E,F各 点的坐标标. 【解题指南】1.根据z轴上的点的坐标特点：横、纵坐标均为 0,即可找出正确答案. 2.解答本题首先要明确坐标的定义,再根据定义通过找面内的 点的坐标得所求点的坐标. 【解析】1.选C.因为z轴上所有点的横、纵坐标均为零，所以 选C. 2.因为A，B，C，D这4个点都在坐标平面xDy内，它们的竖坐 标都是0，而它们的横坐标和纵坐标可利用|AD|=3,|AB|=5写 出，所以A(3，0，0)，B(3，5，0)，C(0，5，0)，D(0，0， 0)；因为平面ABCD与坐标平面xDy平行，且 |AA|=3,所以A，B，C,D的竖坐标都是3，而它们的 横坐标和纵坐标分别与A，B，C，D的相同，所以A(3，0， 3)， B(3，5，3)，C(0，5，3)，D(0，0，3)； 由于E是DB的中点，所以它在坐标平面xDy上的射影为DB的 中点，从而E的横坐标和纵坐标分别是B的 ，同理E的竖坐 标也是B的竖坐标的 ，所以 由F为BC的中点可 知，F在坐标平面xDy的射影为BC的中点，所以F的横坐标和纵 坐标分别为 和5，同理点F在z轴上的投影是DD的中点，故 其竖坐标为 ，所以 【互动探究】题2的条件不变,求点E关于x轴,平面xDz的对称 点. 【解析】设点E关于x轴对称的点为E0(x0,y0,z0), 为E0E的中点,所以 解之,得 所以 同理可得：点E关于平面xDz的对称点为 【技法点拨】在空间直角坐标系中确定空间一点P的坐标的步 骤 【变变式训练训练 】如图图,三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱长长都为为2,侧侧 棱AA1底面ABC,建立适当坐标标系,写出各顶顶点的坐标标. 【解题指南】根据底面为正三角形,可取AC中点为坐标原点 ,AC的中垂线为x轴,AC为y轴,面ACC1A1中与AC垂直的直线为z轴 . 【解析】取AC的中点O和A1C1的中点O1, 连接BO,OO1,可得BOAC,分别以OB,OC, OO1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐 标系,如图.因为三棱柱各棱长均为2, 所以OA=OC=1,OB= .可得A(0,-1,0), B( ,0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2),B1( ,0,2),C1(0,1,2). 类型 二 由空间间点的坐标标确定点的位置 试试着解答下列题题目,总结总结 求空间间中点P(x,y,z)的位置的 步骤骤及方法. 1.点P(0,1,4)位于( ) A.y轴轴上 B.x轴轴上 C.xOz平面内 D.yOz平面内 2.在空间间直角坐标标系中,作出点M(4,2,5). 【解题指南】1.根据点P的横坐标、纵坐标、竖坐标的特点来 判断. 2.分别在x轴,y轴,z轴上取点(4,0,0),(0,2,0),(0,0,5),过这 三点作轴的垂面,交点即所求. 【解析】1.选D.因为点P(0,1,4)的横坐标为0,所以点P位于 yOz平面内. 2.如图.在x轴上找到点M1(4,0,0),过M1 作与x轴垂直的平面;在y轴上找到点 M2(0,2,0),过M2作与y轴垂直的平面; 在z轴上找到点M3(0,0,5),过M3作与z轴 垂直的平面,则平面,交于一点,此交点即为所求作 的点M(4,2,5). 【技法点拨】 1.求空间中点P(a,b,c)的位置的四个步骤 2.已知点P的坐标确定其位置的方法 (1)利用平移点的方法,将原点按坐标轴方向三次平移得点P. (2)构造适合条件的长方体,通过和原点相对的顶点确定点P的 位置. (3)通过作三个分别与坐标轴垂直的平面,由平面的交点确定 点P. 提醒：(1)若点的坐标有两个为0,则该点在坐标轴上(如点 A(0,1,0),则该点在y轴上). (2)若仅有一个为0,则该点必在坐标平面内(如点A(a,b,0)必 在xOy平面内). 【变变式训练训练 】在空间间直角坐标标系Oxyz中,作出点P(5,4,6). 【解析】第一步从原点出发沿x轴正 方向移动5个单位,第二步沿与y轴平 行的方向向右移动4个单位,第三步 沿与z轴平行的方向向上移动6个单 位(如图),即作出点P(5,4,6). 类型 三 空间间中点的对对称问题问题 通过过解答下列空间间中点的对对称问题问题 ,试总结试总结 空间间中点关 于坐标标平面、坐标轴对标轴对 称的点的特点. 1.已知点P(-2,1,5),则则点P关于原点对对称的点的坐标为标为 . 2.已知M(2,1,3),求M关于原点对对称的点M1,M关于xOy平面对对称 的点M2,M关于x轴轴、y轴对轴对 称的点M3,M4. 【解题指南】1.点P关于原点对称的点的横坐标、纵坐标、竖 坐标均为点P相应坐标的相反数. 2.根据空间直角坐标系的点关于坐标轴,坐标平面对称的点的 坐标特点来写. 【解析】1.点P(-2,1,5)关于原点对称的点的坐标为 (2,-1,-5). 答案：(2,-1,-5) 2.由于点M与M1关于原点对称,所以M1(-2,-1,-3);点M与M2关于 xOy平面对称,横坐标与纵坐标不变,竖坐标变为原来的相反数 ,所以M2(2,1,-3);M与M3关于x轴对称,则M3的横坐标不变,纵坐 标和竖坐标变为M的相反数,即M3(2,-1,-3),同理M4(-2,1,-3). 【技法点拨】空间中关于坐标平面、坐标轴对称的点的特点 (1)关于哪个坐标平面对称的点,点在哪个平面上的坐标不变, 其余的坐标变为原来的相反数. (2)关于哪条坐标轴对称,哪个坐标不变,其余的坐标分别变为 原来的相反数. 【拓展延伸】常见对称的一些结论 点P(x,y,z)关于坐标原点的对称点为P1(-x,-y,-z); 点P(x,y,z)关于横轴(x轴)的对称点为P2(x,-y,-z); 点P(x,y,z)关于纵轴(y轴)的对称点为P3(-x,y,-z); 点P(x,y,z)关于竖轴(z轴)的对称点为P4(-x,-y,z); 点P(x,y,z)关于xOy坐标平面的对称点为P5(x,y,-z); 点P(x,y,z)关于yOz坐标平面的对称点为P6(-x,y,z); 点P(x,y,z)关于zOx坐标平面的对称点为P7(x,-y,z). 【变变式训练训练 】已知点P(2,-5,8),分别别写出点P关于原点,x轴轴, y轴轴,z轴轴和xOz平面的对对称点. 【解析】点P(2,-5,8)关于原点的对称点为(-2,5,-8), 点P关于x轴,y轴,z轴的对称点分别为：(2,5,-8), (-2,-5,-8),(-2,5,8).点P关于xOz平面的对称点为(2,5,8). 1.关于空间间直角坐标标系的叙述正确的是( ) A.P(x,y,z)中x,y,z的位置可以互换换 B.空间间直角坐标标系中的点与一个三元有序数组组是一种一一对对 应应关系 C.空间间直角坐标标系中的三条坐标轴标轴 把空间间分为为八个部分 D.某点在不同的空间间直角坐标标系中的坐标标位置可以相同 【解析】选B.A,D易知错误,对于C应是坐标平面. 2.点(2,0,4)在空间间直角坐标标系中的位置是( ) A.在x轴轴上 B.在y轴轴上 C.在xOz平面上 D.在xOy平面上 【解析】选C.由于纵坐标为0,横、竖坐标不为0,故在xOz平 面内. 3.在空间间直角坐标标系中,P(2,3,4),Q(-2,3,-4)两点的位置关 于 对对称. 【解析】因为点P与点Q的纵坐标相同,横坐标、竖坐标分别互 为相反数,所以点P与点Q关于y轴对称. 答案：y轴 4.在空间间直角坐标标系中,点P(-2,1,4)关于x轴对轴对 称的点的坐 标标是 ;关于xOy平面对对称的点的坐标标是 ;关于 点A(1,0,2)对对称的点的坐标标是 . 【解析】点P关于x轴对称后,它的横坐标不变,纵坐标、竖坐 标变为原来的相反数,所以点P关于x轴对称的点的坐标为 P1(-2,-1,-4);点P关于xOy平面对称后,它的横、纵坐标 均不变,竖坐标变为原来的相