数学建模之效益的合理分配.ppt

数学建模之效益的合理分 配 班级：数学081班 制作：张鹤 日期：2010年5月30号 题目 某甲（农民）有一块土地，若从事农业生 产可收入1万元；若将土地租给某乙（企业 家）用于工业生产，可收入2万元；若租给 某丙（旅店老板）开发旅游业，可收入3万 元；当旅店老板请企业家参与经营时，收 入达4万元。为促成最高收入的实现，请问 如何分配个人所得最为合理？ 问题提出： 题目中要求实现最大收益，很显然题目中三 人合作的情况下所得的4万元为最高收入， 试问在此种情况下，甲、乙、丙三者所应该 得到的最合理的收入各为多少万元？ 问题的分析： 遇到这种问题我们会很容易的想到列方程求解 的方去法分配：设甲、乙、丙三人合作后各 得x1,x2,x3万元，满足x1+x2+x3=4 x11,x2,x30,x1+x22,x1+x32 其中式表示这种分配必须不小于单干或二 人合作时的收入，但我们很容易看出， 式有许多组解，如（x1,x2,x3）=(2,0,2), (1.8,0.3,1.9),(1.7,0.4,1.9)许多组解，我 们发现这种分配方式并不合理，应寻求一 种圆满的分配方法！ 模型假设与建立 ： 我们上面提出的这类问题称为n人合作对策， Shapley L.S.1953给出了解决该问题的一种 方法，称Shapley值。 首先，让我们先了解一下什么叫n人合作对策 和Shapley值 n个人从事某项经济活动，对于他们之中若干 人组合的每一种合作（特别，单人也视为 一种合作），都会得到一定的经济效益， 当人们之间的利益是非对抗性时，合作人 数的增加不会引起效益的减少，这样，全 体n个人的合作将带来最大效益。n个人的 集合及合作的效益就构成n人合作对策， Shapley值是分配这个最大效益的一种方案 。 其Shapley值的定义如下： 设集合I=1，2，3，n，如果 对于I的任一子集s都对应一个实值函数v(s) ，满足 =0 v(s1s2) v(s1)+v(s2)，s1s2=空集 称I,v为n人合作对策，v为对策的特征函数. 在上面所述的经济活动中，I定义为n人集合，s 为n人集合中的任一种合作，v(s)为合作s的效益. 用xi表示I的成员i从合作的最大收益v(I)中应得 到的一份收入.x=(x1，x2xn)叫合作对策的分 配，满足 =v(I) xiv(i)，i=1,2,n 其中式表示每个成员从合作最大收益中所得总额 恰好为最大收益额 式表示每个人从最大收益额中所得不小于其每个 人单干所得.显然，由 和式定义的n人合作对 策I,v通常有无穷多个分配. Shapley值由特征函数v确定，记作vvvvvvv 对任意的子集s，记vvvvv，即s中各成员的 分配.对一切svvvv，满足x(s) v(s)的x 组成的效益集合称I,v的核心.当核心存在 时，即所有s的分配都不小于s的效益，这 时可将Shapley值作为一种特定的分配， 即vvvvvv其中vvv的结果为： Shapley值vvvvvvv 其中Si是I中包含i的所有子集，/s/是 子集s中的元素数目（人数），w(/s/)是 加权因子，si表示s除掉i后的集合. 以上述Shapley值数学模型来对所给 题目进行求解. 模型求解： 甲、乙、丙三人记为I=1，2，3，经商获利 定义为I上的特征函数，即vvv=0, v(1)=1, v(2)=v(3)=0, v(1,2)=2, v(1,3)=3, v(2,3)=0, v(I)=4 容易验证v满足上述和式，为计算vvvv首 先找出I中包含1的所有子集S1：1， 1，2，1，3，1，2，3然后令s跑遍S1, 由此我们得到表一如下： 表一 s11，21，3I v(s)1234 v(s1)0000 v(s)- v(s1)1234 /s/1223 w(/s/)1/31/61/61/3 w(/s/)v(s)- v(s1) 1/31/31/24/3 由表一我们得出vvv1=2.5万元，即甲的收益 为2.5万元。 对此表中的解释： 对表一中的s,比如1，3，v(s)是有甲 （即1）参加时合作s的获利，v(s1)是无甲 参加合作时s的获利， v(s)- v(s1)视为甲对这 一合作的“贡献”，用Shapley值计算的甲的分 配值vvv是甲对他所参加的所有合作（S1） 的加权平均值，加权因子w(/s/)取决于这个合 作s的人数.也就是按贡献取得报酬. 于是，接下来我们可以用同样的方法得 到表二，表三分别为： 表二 s21，22，3I v(s)0204 v(s2)0103 v(s)- v(s2)0101 /s/1223 w(/s/)1/31/61/61/3 w(/s/)v(s)- v(s2) 01/601/3 表三 s31，32，3I v(s)0304 v(s3)0102 v(s)- v(s3)0202 /s/1223 w(/s/)1/31/61/61/3 w(/s/)v(s)- v(s3) 01/302/3