人教版高中数学必修5(A版)基本不等式.pptVIP

3.4基本不等式 2002年国际数学家大会会标 创设情境、体会感知： 三国时期吴国数学家赵爽 一、新课引入 A D C B H G F E “风车”中有哪些图形，这 些图形的面积有什么相等 关系和不等关系？ 问：那么它们有相等的情况吗？ 不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有 当且仅当a=b时，等号成立。 A B C D E(FGH) a b 证明推导1： v问：何时相等？ 结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有 当且仅当a=b时，等号成立 当a,b为任意实数时， 还成立吗？ 形数 此不等式称为重要不等式 2.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数 2.代数证明: 3.几何意义：半弦长小于等于半径 （当且仅当a=b时，等号成立） 二、新课讲解 算术平均数几何平均数 3.几何证明: 从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的 等差中项 1.思考:如果当 用 去替换 中的 ,能得到什么结论? 基本不等式 基本不等式： 当且仅当a =b时，等号成立. 当且仅当a=b时，等号成立. 重要不等式： 注意： （1）不同点：两个不等式的适用范围不同。 （2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。 例1用篱笆围一个面积为 的矩形 菜园, 问该矩形的长、宽各为多少时, 所用篱笆最短，最短的篱笆是多少? 三、应用 解: (1)设矩形菜园的长为 ,宽为 , 则 , 篱 笆的长为 . 由 等号当且仅当 时成立,此时 因此,这个矩形的长和宽都是10m时,所用的篱笆最短,最短为40m 得 即 (2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形 菜园，问这个矩形的长，宽各为多少 时，菜园的面积最大，最大面积是多 少？ 已知a,b都是正数， （1）若ab是定值P, 则当a=b时 , a+b有最小值 ； （2）若a+b是定值S, 则当a=b 时,ab有最大值 ； 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值 （均值不等式定理）（均值不等式定理） 积一定，和有最小值； 和一定，积有最大值。 积一定，和有最小值； 和一定，积有最大值。 注意：一正二定三相等！ 1、本节课主要内容？ 你会了 吗？ 五 、小结 2、两个结论:两个正数,积定和最小;和定积最大。 构造条件 三、应用 例1、若 ,求 的最小值. 变3:若 ,求 的最小值. 变2:若 ,求 的最小值. 发现运算结构，应用不等式 问:在结论成立的基础上,条件“a0,b0”可以变化吗？ 变1:若 求 的最小值 三、应用 例2、已知 ,求函数 的最大值. 变式:已知 ,求函数 的最大值. 发现运算结构，应用不等式 应用要点： 一正数 二定值 三相等 结论1：两个正数积为定值，则和有最小值 结论2：两个正数和为定值，则积有最大值 3.已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各 为多少时,两条直角边的和最小，最小值是多 少？ 4.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应 怎样折？ 四 、巩固 大9 33 小 证明:要证 只要证 ( ) 要证证，只要证证 ( ) 要证证，只要证证（ ) 显然: 是成立的,当且仅当 时 中的等号成立. 证明:当 时, . 作业 课本P100习题3.4A组 第1,2题 再见! o a b AB P Q 1.如图,AB是圆o的 直径，Q是AB上任 一点，AQ=a,BQ=b, 过点Q作垂直于AB 的弦PQ，连AP,BP,