高一数学两角和与差的三角函数余树宝.ppt

P(x,y) r 的终边 y/r=sin x/r=cos x=r cos y=r sin P(r cos , r sin) Ox y 我们把y/r、x/r、y/x、x/y 、r/x、r/y定义为的六个三 角函 数 特别地，r=1时，点P的坐标为（cos ,sin ) C:sketch 第三章 两角和与差的三角函数 ， 解斜三角 形更多资源 一、两角和与差的三角函数 不查表，求cos（ 435） 的值. 解：cos(435 ) =cos435 =cos(360 +75 )=cos75 1. 75 能否写成两个特殊角的和或差的形式? 2. cos75 =cos(45 +30 )=cos45 +cos30 成立吗? 3. 究竟cos75 =? 4. cos (45 +30 )能否用45 和30 的角的三角函数来表示? 5. 如果能,那么一般地cos(+)能否用 、的角的三角函数 来表示? 3.1 两角和与差的三角函数 1.两角和与差的余弦 cos(+)=coscossinsin 在平面直角坐标系xOy内,作单位圆,并作 、 和角,使角的始边为Ox，交圆O于P1, 终边交圆O于P2;角的始边为OP2,终边交圆O于 P3; 角的始边为OP1,终边交圆O于P4; 此时,P1.P2.P3.P4的坐标分别为P1(1,0) , P2(cos,sin), P3(cos(+),sin(+) ), P4(cos(), sin(). 由P1P3 = P2P4及两点间距离公式, 得： cos(+)1+sin(+)=cos()cos+sin()sin . 整理得: cos(+)=coscossinsin. 证明:如图所示 cos(+)=coscossinsin 公式的结构特征: 左边是复角+ 的余弦,右边是单角、的余弦积 与正弦积的差. cos()= coscos+sinsin 公式的结构特征: 左边是复角+的余弦,右边是单角、 的余弦积 与正弦积的和. 例1.不查表,求cos(435)的值 . 解:cos( 435 )=cos75 =cos(45 +30 ) =cos45 cos30 sin45 sin30 应用举例 不查表,求cos105 和cos15 的值. cos15 = 答案：cos105 = 练习 例2.已知cos(30 )=15/17, 为大于30 的锐角,求cos 的值. 分析： =( 30 )+ 30 解： 30 90 , 0 30 60 , 由cos( 30 )=1517,得sin ( 30 )=817, cos =cos( 30 )+ 30 = cos( 30 )cos 30 sin ( 30 )sin 30 = 1517 32 817 12 =（15 3 8）34. 例3.在ABC中,cosA=35,cosB=5 13,则cosC的值为( ). 分析: C=180 (A+B) cosC=cos(A+B)= cosAcosB+sinAsinB 已知cosA=35 ,cosB=513,尚需求sinA,sinB 的值. sinA= 45 , sinB=1213, cosC=35 513 + 45 1213 =3365. 例4.cos25 cos35 cos65 cos55 的值 等于( ). (A) 0 (B) 12 (C) 32 (D)12 解: 原式=cos25 cos35 sin25 sin35 =cos(25 +35 ) =cos60 =12. 故选: ( )B 例5. 求函数y=cos2xcos6 +sin2xsin6的周期. 解: y=cos2xcos6 +sin2xsin6 =cos(2x 6 ), 故此函数的最小正周期为. 1.不查表,求cos165 ,cos( 6112)的值 . 2.已知cos=513, (,32)求 cos(+6)的值. 3.cos 15 sin15 = -. 4.在ABC中,若sinAsinB=cosAcosB,则 ABC是 ( ). (A)直角三角形(B)钝角三角形(C)锐角三角 形(D)不确定 (6+2)4, (6+2)4 (1253) 26 3 2 A 答案: 1. ( ) ; 2.( ) ; 3. ( ) ; 4. ( ). 课堂练习 1.cos(+)=coscossinsin cos()=coscos+sinsin 2.利用公式可以求非特殊角的三角函 数值,化简三角函数式和证明三角恒 等式。使用公式时要灵