大学物理(石大)第4章.ppt

第四章 刚体力学基础 2-30 解： 2-31 解： 方法一：由功能原理可知， 方法二：根据动能定理， 以大地为参照系，取炮弹与炮弹组成的系统为研究对象， 系统水平方向的动量守恒。由图可知炮弹相对于地面的速 度的水平分量为 根据动量守恒定律 所以, 此即为炮车的反冲速率。 3-1 解： 解法一 取吊车和重物组成的系统 为研究对象，系统所受的合外力 为零，因此前后，质心的位置不 变。 3-20 解： 取质心为坐标原点，如图所示。 设开始时，M和m相对质心的距离 分别是a和b；后来，吊车在水平 方向上移动的距离为x，重物在 水平方向上移动的距离为y，则 联立上述四式得 解法二 以岸边为参考系，以水平向右为x轴正方向，因水的 阻力不计，因此浮吊在x方向动量守恒。该M以V向岸边靠拢， m相对M以u向左运动，相对岸边的速度为u-V 即， 两边求积分，得 三、刚体: 受力时形状和大小完全不变的的物体为刚体。 刚体定轴转动 : 转轴相对参考系固定不动的转动。 复复 习习 一、机械能守恒定律： 二、碰撞问题（两体对心碰撞） 例题1一半径为R = 0.1m 的砂轮作定轴转动，其角位置随时间t 的变化关系为 = ( 2 + 4 t 3 ) rad ，式中 t 以秒计。试求： 1）在 t = 2s 时,砂轮边缘上一质点的法向加速度和切向加速度的大 小。2）当角 为多大时，该质点的加速度与半径成 45 o。 解 1) 2) ( 舍去t = 0 ) 此时砂轮的角度： 解 1) 棒做变加速运动： 例题2 一细棒绕O 点自由转动，并知 , L 为棒长。 求: 1) 棒自水平静止开始运动， = / 3 时, 角速度 ? 2) 此时端点A 和中点B 的线速度为多大? 例题2 一细棒绕O 点自由转动，并知 , L 为棒长。 求: 1) 棒自水平静止开始运动， = / 3 时, 角速度 ? 2) 此时端点A 和中点B 的线速度为多大? 4-2定轴转动刚体的角动量和角动量定理 一、定轴转动刚体不定义动量的概念 对于如图所示的对称性良好的刚体 ，不论其角速度 如何变化，刚体上各 质元动量的矢量和总是零即 显然，这样定义的刚体的动量不符合定 义状态量的原则 定轴转动刚体不定义动量概念 如果刚体的对称性不好，但转轴过其质心，那么，这 时，刚体总动量 所以这样的动量同样没有 应用价值。 二、刚体角动量的定义 在质点动力学中已得到 角动量定义中，选取参考点的 原则是： 要使定义的角动量有用， 参考点的选取就必须有一定限制例 如，质点作圆周运动时，参考点不能 选在中心轴线以外，只能选轴线上的 任意一点角动量可以，而且只能定 义成：质点对转轴上任意一点的角动 量沿转轴方向的分量，称为质点的角 动量这样定义的角动量与参考点在 转轴上的位置无关 式中， 是质点到转轴的距离 角动量： 刚体这个质点系的角动量可以，而且只能定义成：刚体上各质 元对转轴上任意一点 的角动量沿转轴方向的分量的矢量和 由于各质元的角动量的方向都相同所以可以用标量表即 定轴转动刚体上各质元分别绕转轴上 不同点作圆周运动，取转轴上任意一点 为参考点，质元的角动量可以，而且只能 定义成：质元对转轴上 点的角动量沿转 轴方向的分量质元的角动量 式中， 是质元到转轴的距离 或 2 、转动惯量的计算： 若质量离散分布： （质点，质点系） 若质量连续分布： 其中： 刚体对转轴的角动量： 1、定义：刚体对转轴的转动惯量： 三、转动惯量： 描述刚体转动惯性大小的物理量。 SI单位：kg . m 2 例题1 求质量为m，半径为R 的均匀圆环的对中心轴的转动惯量。 解 设线密度为； 例题2 求质量为m、半径为R 的均匀薄圆盘对中心轴的转动惯量。 取半径为 r 宽为d r 的薄圆环, 解 设面密度为。 例题3 求长为L、质量为m 的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。 解 1）取A 点为坐标原点。在距A 点为x 处取dm= dx 。 2）取C 点为坐标原点。 在距C 点为x 处取dm 。 2) 同一刚体对不同转轴的转动惯量不同， 凡提到转动惯量 必须指明它是对哪个轴的。 1) 刚体的转动惯量是由刚体的总质量、质量分布、 转轴的位置三个因素共同决定; 说明 3、平行轴定理： 若有任一轴与过质心的轴平行，且两轴相距为d，刚体 对该轴的 转动惯量为J，则有： 说明：说明： 两轴平行； JC 为刚体绕质心轴的转动惯量 d 为两平行轴间距离。 例 均匀圆盘对O 轴的转动惯量。 刚体定轴转动的角动量 等于各 质点角动量对转轴上任意点A的角 动量的矢量和沿轴的分量 设任一质元的角动量 由于 所以 由于 所以 四、刚体的定轴转动定律 令 所以 称为定轴转动刚体的角动量定理 作用于刚体上的和外力矩等于刚体的角动量对时间的变化率。 由于刚体的角动量和力矩只有沿转轴方向 的两个可能的方向。所以定轴转动刚体的 角动量定理可以用标量表示即 刚体对转轴的角动量亦可写成： 称为刚体的定轴转动定律所以 为作用于刚体上各力对转轴上任意点的力矩沿转轴的分量 的矢量和，称为作用于刚体上的力矩。 1、刚体的角动量：刚体上各质元对转轴上任意一点 的 角动量沿转轴方向的分量的矢量和 五、几点说明 刚体的角动量是质点系的角动量的一个分量 2、刚体的角动量定理 是质点系的角动量定理沿转轴方向的分量式 是作用于某质点合外力矩沿转轴方向的分量 角动量与力矩的参考点相同它们沿转轴方向的分量与 参考点在转轴上的位置无关，只与质元和力的作用点到转轴 的距离有关 式中 称为力臂 的力矩垂直转轴，对 无贡献 的力矩有使转轴翻倒的作用 3、力矩 中 是外力在转动平面内的分量 是力的作用点 相对转动平面与转 轴的交点的矢径 力矩的大小： 由于刚体在转动，用直角坐标系不方便。 的力矩等于零 5、 当有n 个力作用于刚体，则 合外力矩等于各力对转轴 力矩的代数和。 6、 刚体的内力对转轴的力矩： 刚体的内力对转轴的 力矩的矢量和等于零。 4、由于角动量、力矩的方向都只有 沿转轴方向的两个可能的指向，所 以通常用标量（正、负）表示。 六、刚体的角动量定理的积分形式： 刚体角动量定理的微分形式 作用在刚体上的冲量矩等于角动量的增量。 刚体角动量定理的积分形式 把上式变形为 力矩在 时间内的积累称为冲量矩或角冲量 力矩在 时间内的积累产生的效果 例题4 一棒长为l，质量为m，质量密度 与到O 点的距离成正 比，将细棒放在粗糙的水平面上，使棒绕O 点转动，棒的初始角 速度为0 ，棒与桌面的摩擦系数为。 求: 1）细棒对O 点的转动惯量。2）细棒绕O 点的摩擦力矩。 3）细棒从以0 开始转动到停止所经历的时间。 解1) 在离O 点r 处取微元dr，则： 2） 设细棒上距O 点r 处长d r 的线元所受的摩擦力为d f ； 它对O 点