2017考研数学基础班、张宇高等数学辅导讲义.pptx

注：仅对数一要求的部分标有“*”，仅对数二，数三要求的部分相应标有“”，“”. 目录录 第一讲 函数 极限 连续 性(1) 第二讲 导数与微分(7) 第三讲 微分中值定理及导数的应用(11) 第四讲 一元函数积分学(15) 第五讲 微分方程(20) 第六讲 多元函数微分学(23) 第七讲 重积分(28) 第八讲 曲线积 分与曲面积分* (23) 第九讲 无穷级 数* (38) 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲 义 第一讲讲函数、极限、连续连续性 一、函数 1. 函数 (1)函数的定义 设数集 D R ，则称映射 f : D R 为定义在 D 上的函数，简记为 y f (x), x D ， 其中 x 称为自变量， y 称为因变量， D 称为定义域，记为 Df ， f (D) 为值 域，记为 Rf . (2)函数定义的两要素：定义域，对应法则. 2. 函数的特性 (1)有界性：若 M 0 ，对于 x I ，都有 f (x) M ，则称 f (x) 在 I 上有界. (2)单调性：设函数 f (x) 的定义域为 D ，区间 I D ，若对于 x1, x2 I ，当 x1 x2 时 ， 有 f (x1) f (x2 ) ( f (x1) f (x2 ) ，则称 f (x) 在区间 I 上单调增加(单调减少). (3)奇 偶性：设函数的定义域为 I ，对于x I ， 若 f (x) f (x) ，则称 f (x) 是奇函数； 若 f (x) f (x) ，则称 f (x) 是偶函 数. 注：任何一个定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和的形 式 ，即： f (x) f (x) f (x) f (x) f (x) . 22 (4)周期性：设 f (x) 的定义域为 I ，若T 0 ，对于x I ， 使 得 f (x T ) f (x) (x T I ) ， 则称 f (x) 为周期函数，T 为 f (x) 的周期，通常周期是指最小正周期. 3. 反函数 (1)反函数的定义 设函数 f : D f (D) 是单射，则它存在逆映射 f 1 : f (D) D ，则称映射 f 1 为函 数 f 的反函数. (2)结论： f 1 f (x) x ， f f 1(x) x . 1 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义 (3)单调函数存在反函数，反之不成立. 4. 复合函数 (1)复合函数的定义 设函数 y f (x) 的定义域为 Df ，函数 u g(x) 的定义域为 Dg ，且其值域 Rg Df ， 则函数 y f g(x) , x Dg 称为由函数 u g(x) 与函数 y f (u) 构成的复合函数. (2) 只有当函数 u (x) 的值域与 y f (u) 的定义域的交非空时，才能将它们复合成复合函 数. 5. 初等函数 (1)基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数. (2)初等函数：由常 数和五类基本初等函数进行有限次的四则运算和复合构成的可用一个式子 表示的函数. (3)初 等函数必须能用一个式子表示，不能用一个式子表示的函数不能称为初等函数，故分段 函 数 一 般 不 是 初 等 函 数 . 二、极限 1. 数列极限 (1)数列极限的定义 设xn 为一数列，如果存在常数 a ，对于任意给定的正数 ，总存在正整数 N ，使得 n 当 n N 时，有 xn a 成立，则称数列xn 收敛于 a ，记为 lim an a . n 2 (2)数列极限的基本性质： (唯一性)如果数列xn 收敛，那么它的极限唯一. (有界性)如果数列xn 收敛， 那么数列 xn 一定有界， 即：M 0 ， 使得 n 有 xn M . (保号性)如果 lim xn a ， 且 a 0 (或 a 0 )，那么 N N ， 当 n N 时，有 xn 0 (或 xn 0 ). (3)数列极限的四则运算法则 设有数列xn， yn . 如果 lim xn A ， lim yn B ，则 ： nn lim(xn yn ) A B ； lim xn yn A B ； nn 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲 义 B xnA n yn 当 yn 0 且 B 0 时， lim. (4)数列极限存在的判定 (夹逼法则)如果数列xn ， yn ， zn 满足： 1) yn xn zn ( n 1,2,3 )； 2) lim yn a ， lim zn a ， nn 那么数列xn的极限存在，且 lim xn a . n (单调 有界准则)单调 增加(或单调 减少)且有上界(或有下界)的数列xn必定存在极限. 2. 函数极限 (1) x x0 时，函数极限的定义 o 设函数 f (x) 在U (x0 ) 内有定义，如果存在常数 A ，对于 0 ，总存在 0 ， 使得 当 x 满足 0 x x0 时，有 f (x) A ，那么常数 A 就叫做函数 f (x) 当 x x0 时 的极限，记作 lim f (x) A . x x0 xx0xx xx 00 注： lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A . (2) x 时，函数极限的定义 设函数 f (x) 当| x | 大于某一正数时有定义，如果存在常数 A ，对于任意给定的正数 ， 总存在正数 X ，使得当 x 满足不等式 x X 时，有 f (x) A ，那么常数 A 就叫做 函 数 f (x) 当 x 时的极限，记作 lim f (x) A . x (3)函数极限的性质 (唯一性)如果 lim f (x) 存在，那么它的极限唯一，即：若 lim f (x) A ，且 lim f (x) B ， xx0xx0xx0 则 A B . xx0 (局部有界性)如果 lim f (x) A ，那么 M 0 和 0 ，使得当 0 x x0 时，有 f (x) M . ( 局部 保号 性 ) 如果 lim f (x) A ，且 A 0 (或 A 0 )，那么 0 ，使 得当 xx0 0 x x0 时，有 f (x) 0 (或 f (x) 0 ). 3 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲 义 (4)函数极限的四则运算法则 如果 lim f (x) A ， lim g(x) B ， 则 xx0xx0 lim f (x) g(x) A B ； xx0 lim f (x) g(x) A B xx0 f (x)A lim xx0 g(x) B ( B 0 ) ； lim f (x)g ( x) AB ( A 0 ). xx0 推论 1：如果 lim f (x) 存在， c 为常数，则 limcf (x) c lim f (x) . xx0xx0xx0 n xx0 xx0xx0 推论 2：如果 lim f (x) 存在，而 n 是正整数，则 lim f (x)n lim f (x) . (5)函数极限存在的判定准则 (夹逼法则)如果函数 f (x) ， g(x) ， h(x) 满足： xx0xx0 1)当 x U (x0 , ) 时， g(x) f (x) h(x) ； 2) lim g(x) A ， lim h(x) A ， 那么 lim f (x) 存在，且 lim f (x) A . xx0xx0 000 (单调 有界准则)设 f (x) 在 x 的某左邻域内单调 有界，则 f (x) 在 x 的左极限 f (x ) 必定 存在. (6) 复合函 数的极限 ：设 y f g(x) 是由 函数 u g(x) 和 y f (u) 复合而成的， y f g(x) 在 x0 的某去心邻域有定义，若 lim g(x) u0 ， lim f (u) A 且在 x0 的邻域内 xx0uu0 g(x) u0 ，则 lim f g(x) lim f (u) A . x x0uu0 (7)两个重要极限 x x0 lim sin x 1 ； 1 x0 x 1 x x n 1 4 n n lim(1 x) x e 或 lim 1 e ( lim 1 e ). 3. 无穷小与无穷大 (1)无穷小量的定义 如果当 x x0 时函数 f (x) 极限为零，那么称函数 f (x) 为当 x x0 时的无穷小. (2)无穷小的性质： 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲 义 有限个无穷小的和仍是无穷小. 有限个无穷小的乘积仍是无穷小. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. (3)无穷小的比较：设 , 是在自变量的同一变化过程中的无穷小，且 0 则： 如果 lim 0 ，称 是 的高阶无穷小，记作： o( ) ； 如果 lim ，称 是 的低阶无穷小. lim c 0 ，称 是 的同阶无穷小； k lim c 0 ，称 是 的 k 阶无 穷小. lim 1 ，称 与 是等价无穷小，记作： . (4)等价无穷小替换定理：设在自变量 x 的同一变化过程中，1 ， 2 ， 1 ，2 都是无穷小 ， 1 1 5 2 12 1 而且1 2 ， 1 2 ，如果 lim A ，则 lim lim A . 三、函数的连续连续 性 1. 函数连续性的定义 (1)函数 f (x) 在 x0 点连续 的定义 xx0 设函数 f (x) 在U (x0 ) 内有定义，如果 lim f (x) f (x0 ) ，那么称函数 f (x) 在点 x0 连续 . 0000 (2)函数 f (x) 在 x 处连续 f (x ) f (x ) f (x ) . 2. 间断点及其分类 (1)间断点的定义 若函数 f (x) 在点 x0 不连续 ，则点 x0 称为函数 f (x) 的间断点. (2)间断点的分类： ； 间断点 第二类间断点(左、右极限至少有一个 不存在)； 跳跃间断点(左极限 右极限) 可去间断点(左极限 右极限) 第一类间 断点(左、右极限都存在 ) 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义 3. 闭区间上连续函数的性质： (1)有界最值定理 若函数 f (x) 在a, b 上连续 ，则它在a, b 上有界且一定能取到最大值和最小值，即： K 0 ，使得 x a, b ，有 f (x) K ，以及在a, b 上有 1 ， 2 使得 f (1) m ， f (2 ) M ，其中 m ， M 分别为 f (x) 在a, b 上的最大值和最小值. (2)零点定理 设函数 f (x) 在a, b 上连续 ，且 f (a) f (b) 0 ，则 (a, b) 使得 f ( ) 0 . (3)介值定理 设函数 f (x) 在a, b 上连续 ，且 f (a) f (b) ， c 是介于 f (a) 和 f (b) 间的一个常数， 则 (a, b) 使得 f ( ) c . 推论论：若函数 f (x) 在a, b 上连续 ， m ， M 分别为 f (x) 在a, b 上的最大值和最小值， m c M ，则 a, b 使得 f ( ) c . 第二讲讲导导数与微分 一、导导数 1. 导数定义 (1)导数的定义 设函数 y f (x) 在U (x0 ) 内有定义，当自变量 x 在点 x0 处取得增量 x ，相应的函数 00 x0 x0 y 取得增量 y f (x x) f (x ) ；如果 lim lim x f (x0 x) f (x0 ) x 存在，则称函 x x0 数 y f (x) 在点 x0 处可导，记为 f (x0 ) ，或 y， dydf (x) dxdx x x0x x0 ，. (2)导函数的定义 若函数 y f (x) 在开区间 I 内可导，对于 x I ，都对应 着 f (x) 的一个确定的导 数 dxdx 6 值. 这样就构成了一个新的函数，这个函数叫 y f (x) 的导函数，记作 y， dy 或 df (x) . (3)左、右导数的定义 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲 义 0 f (x0 x) f (x0 ) f (x ) lim y lim x0 x x0 0 x f (x0 x) f (x0 ) f (x ) lim y lim x0 x x0 x (4)函数在 x0 点可导的充要条件： f (x0 ) 存在 f(x0 ) f(x0 ) . (5)可导与连续性 的关系：若函数 y f (x) 在 x0 点可导，则它在 x0 点连续. (6)导数的几何意义 函数 y f (x) 在 x0 点处的导数 f (x0 ) 在几何上表示曲线 y f (x) 在点 M (x0 , y0 ) 处 的切线的斜率，即 f (x0 ) tan ，其中 为切线的倾角. (7)切线方程与法线方程 曲线 y f (x) 在 M (x0 , y0 ) 处， 1 f (x0 ) 切线方程为 y y0 f (x0 )(x x0 ) ，法线方程为 y y0 (x x0 ) . v2 (x) 2. 导数的计算 (1)函数的和、差、积、商的求导法则 如果函数 u u(x) 及 v v(x) 都在点 x 具有导数，那么它们的和、差、积、商(除分母 为零的点外)都在点 x 具有导数，且 u(x) v(x) u(x) v(x) ； u(x)v(x) u(x)v(x) u(x)v(x) ； v(x) u(x) u(x)v(x) u(x)v(x) ( v(x) 0 ). (2)高阶导数的定义 d n y dxn 二阶及二阶以上的导数统称高阶导 数.记为， n 2 ， 3 ， . 其中， x0 7 d 2 y d dy f (x x) f (x ) xdx2 dx dx lim 00 . 如果函数 f (x) 在点 x 具有 n 阶导数，那么 f (x) 在点 x 某邻域内必定具有一切低于 n 阶的 导数. 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲 义 和、差、积的 n 阶导 数公式： n n Cku( n k )v(k ) u v ( n) u(n) v(n) ， (uv)(n) k 0 . (3)反函数的求导法则 1 如果函数 x f ( y) 在区间 I y 内单调 、可导且 f ( y) 0 ，则它的反函数 y f(x) 在 xy 区间 I x x f ( y), y I 1 1 内可导，且 f(x) dx f ( y) dx dy1 或. dy (4)复合函数的求导法则 设 y f (u) ，而 u g(x) ，且 f (u) 及 g(x) 都可导，则复合函数 y f g(x) 在点 x 可 dydydy du 导，且其导数为 f (u) g(x) 或. dxdxdu dx (5)隐函数的求导 隐函数的定义 一般地，如果变量 x 和 y 满足一个方程 F (x, y) 0 ，在一定条件下，当 x 取某区间内 的任一值时 ，相应地总有满足这方程的唯一的 y 值存在，那么就说方程 F (x, y) 0 在该区 间内确定了一个隐函数. 隐函数的求导：对方程两边对 x 求导，将 y 视为 x 的函数，用复合函数的求导法则求导. (6)参数方程所确定的函数的导数 参数方程所确定的函数的定义 x (t) 若参数方程 y (t) 确定 x 与 y 间的函数关系，则称此函数为参数方程所确定的函数. 参数方程所确定的函数的导数 如果函数 x (t) 具有单调连续 反函数 t 1(x) ，且此反函数能与函数 y (t) 构成 复合函数.若 x (t) 和 y (t) 都可导，而且(t) 0 ，则： dx dt dxdtdxdt(t)dx (t) 8 dy dy dt dy 1 (t) ，即 dy (t) . 如果 x (t) 和 y (t) 二阶可导 ，则 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲 义 (t)(t) (t) (t) d 2 y dx23 (t) . (7)幂指函数的求导 对于一般形式的幂指函数 y uv (u 0) ，如果 u u(x), v v(x) 都可导，则 ： v vu y uv ln u u . 二、微分 1. 函数的微分 (1)微分的定义 设 y f (x) 在 U (x0 ) 内 有 定 义 ， 若 增 量 y f (x0 x) f (x0 ) 可 表 示 为 y Ax o(x) 其中 A 是不依赖于 x 的常数，则称函数 y f (x) 在点 x0 是可微的，而 Ax 叫做函数 y f (x) 在点 x0 相应于增量 x 的微分，记作 dy ，即 dy Ax . (2)函数连续、 可导与可微之间的关系 函数 y f (x) 在点 x 处可微 f (x) 在 x 处可导，此时 A f (x) ，即 dy f (x)dx . 函数 f (x) 在 x x0 可导 f (x) 在 x x0 可微 f (x) 在 x x0 连续 . (3) 微 分 的 几 何 意 义 ： y f (x0 x) f (x0 ) 是 曲 线 y f (x) 在 x x0 处对应 于自变量的增量 x 的纵坐标的增 量，而微分 dy是曲线 y f (x) 在点 (x , f (x ) 处的切线的纵坐标相应的增量. xx0 00 2. 复合函数的微分法则：设 y f (u) 及 u g(x) 都可导，则复合函数 y f g(x) 的微分 为： dy yxdx f (u)g(x)dx .由于 g(x)dx du ，所以复合函数 y f g(x) 的微分 也可以写 为 dy f (u)du 或 dy yudu . 因此 ，无论 u 是自变 量还 是中间变 量，微分形 式 dy f (u)du 保持不变，该性质称为一阶微分形式不变性. 9 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲 义 第三讲讲微分中值值定理及导导数的应应用 一、微分中值值定理 1. 罗尔定理 如果函数 f (x) 满足： (1) 在闭区间a, b 上连续 ； (2) 在开区间 (a, b) 内可导； (3) 在区间端点处的函数值相等， f (a) f (b) ； 则在 (a, b) 内至少存在一点 (a b) ，使得 f ( ) 0 . 2. 拉格朗日中 值定理 如果函数 f (x) 满足： (1) 在闭区间a, b 上连续； (2) 在开区间 (a, b) 内可导； 那么在 (a, b) 内至少存在一点 (a b) ，使得 f (b) f (a) f ( )(b a) . 3. 柯西中值定理 如果函数 f (x) 及 g(x) 满足 (1) 在闭区间a, b 上连续； (2) 在开区间 (a, b) 内可导； (3) 对任一 x (a, b) ， g(x) 0 ； g(b) g(a) g( ) 10 那么在 (a, b) 内至少存在一点 (a b) ，使得 f (b) f (a) f ( ) . 二、洛比达法则则 1. x a 时的未定型 若函数 f (x) 和 g(x) 满足： (1)当 x a 时，函数 f (x) 和 g(x) 都趋于零； (2)在点 a 的某去心邻域内， f (x) 和 g(x) 都存在，且 g(x) 0 ； 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲 义 (3) lim f (x ) xa g(x) 存在(或为无穷大)， 则 lim f (x)f (x) lim xa g(x)xa g(x) . 2. x 时的未定型 设函数 f (x) 和 g(x) 满足： (1)当 x 时，函数 f (x) 和 g(x) 都趋于零； (2)当 x A 时， f (x) 和 g(x) 都存在，且 g(x) 0 ； (3) lim f (x ) x g(x) 存在(或为无穷大)， 则 lim f (x)f (x) lim x g(x)x g(x) . 0 0 注：仅当型或型才可以考虑用洛比达法则. 对于 0 ， ， 00 ，1 ， 0 型的 未 0 0 定型可以通过转 化成为型或型后，再考虑使用洛比达法则. 2! 0000 n! 0n 三、泰勒公式 1. 泰勒中值定理 设 f (x) 在含有 x0 的某开区间 I 内有直到 (n 1) 阶导 数，则对 于 x I ， (n)f (x) f (x ) f (x )(x x ) f (x0 ) (x x )2 f(x0 ) (x x )n R (x) ， n 0 (n 1)! 0 其中 R (x) f (n 1)( ) (x x )n1 ， 介于 x 与 x 之间. 2. 麦克劳林公式 设 f (x) 在含有 x 0 的某开区间 I 内有直到 (n 1) 阶导 数，则对 于 x I ， n 11 2!n! (n) (n 1) (0)f( x) xn1 x (n 1)! f (x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (0 1) . 四、函数的单调单调 性 1. 设函数 y f (x) 在a, b 上连续 ，在 (a, b) 内可导 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义 (1)如果在在 (a, b) 内 f (x) 0 ，那么 y f (x) 在a, b 内单调 增加. (2)如果在在 (a, b) 内 f (x) 0 ，那么 y f (x) 在a, b 内单调 减少. 注：上述所给的只 是判别单调 性的充分条件，并非必要条件，即 f (x) 0 f (x) 单调 ， 而不能由 f (x) 单 调 f (x) 0 ，只能得到 f (x) 0 . 五、曲线线的凸凹性和拐点 1. 曲线的凸凹性 (1)定义 设 函 数 f (x) 在 区 间 I 上 连 续 ， 如 果 对 I 上 任 意 两 点 x1, x2 恒 有 f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) ，那么称 f (x) 在 I 上的图形是(向上)凹的(或凹弧)；如果恒有 22 f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) 那么称 f (x) 在 I 上的图形是(向上)凸的(或凸弧). 22 (2)判别法 设函数 y f (x) 在a, b 上连续 ，在 (a, b) 内具有一阶和二阶导 数，则 若在 (a, b) 内 f (x) 0 ，则 f (x) 在a, b 上图形是凹的； 若在 (a, b) 内 f (x) 0 ，则 f (x) 在a, b 上图形是凸的. 2. 拐点 (1)定义 设 y f (x) 在区间 I 上连续 ，如果点 x0 为 I 的内点，如果曲线 y f (x) 在经过 x0 , f (x0 ) 时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点 x0 , f (x0 ) 为曲线的拐点. (2)拐点的 判定 若 f (x0 ) 0 (或 f (x0 ) 不存在但 f (x) 在 x0 点连续)，当在 x0 点的左、右邻域内 f (x) 异号时， x0 , f (x0 )是曲线的 y f (x) 的一个拐点. 3. 渐近线 (1)水平渐近线：若 lim f (x) c ，则直线 y c 是曲线 y f (x) 的一条水平渐近线. x 12 xx0 (2)垂直渐近线：如果 lim f (x) ，则直线 x x0 是曲线 y f (x) 的一条垂直渐近 线. (3)斜渐近线：如果存在直线 L : y kx b 使得当 x (或 x ， x )时， 曲线 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲 义 y f (x) 上的动点 M (x, y) 到直线 L 的距离 d (M , L) 0 ，则称直线 L 为曲线 y f (x) 的 渐近线. 若直线 L 的斜率 k 0 ，则称 L 为斜渐近线. x 13 x x (4)直线 L : y kx b 是曲线 y f (x) 的渐近线，则 k lim x x x f (x) ，b lim f (x) kx. x 六、函数的极值值与最 值值 1. 函数的极值 (1)函 数极值的定义 o 设 函 数f (x)在 U (x0 )内 有 定 义 ， 如 果 对 于 x U (x0 )有 f (x) f (x0 ) 或f (x) f (x0 ) 那么就称 f (x0 ) 是函数 f (x) 的一个极大值 ( 或极小值 ) . (2)函数的极大(小)值只是它的局部的最大(小)值，不一定是它的全局的最大(小)值. (3)必要条 件：设函数 f (x) 在 x0 点可导，且在 x0 处取得极值，则必有 f (x0 ) 0 . 注：驻点不一定是极值点. 极值点不一定是驻点，但在可导的条件下，极值点一定是驻点. 2. 判定极值充分条件 (1)第一充分条件 设函数 f (x) 在 x0 处连续 ，且在 x0 的某去心邻域U (x0 , ) 内可导，则 若 x (x0 , x0 ) 时, f (x) 0 ； x (x0 , x0 ) 时, f (x) 0 ，则 f (x) 在 x0 处取 得极大值. 若 x (x0 , x0 ) 时, f (x) 0 ; x (x0 , x0 ) 时， f (x) 0 ，则 f (x) 在 x0 处取 得极小值. (2)第二充分条件 设函数 f (x) 在 x0 处具有二阶导 数且 f (x0 ) 0 ， f (x0 ) 0 ，则 当 f (x0 ) 0 时，函数 f (x) 在 x0 处取得极大值； 当 f (x0 ) 0 时，函数 f (x) 在 x0 处取得极小值. (3)函数的最大(小)值不一定是它的 极大(小)值. 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义 第四讲讲一元函数积积分学 一、不定积积分 1. 原函数的定义 如果在区间 I 上，可导函数 F (x) 的导函数为 f (x) ，即对任一 x I ，都有 F (x) f (x) 那么函数 F (x) 就称为 f (x) (或 f (x)dx )在区间 I 上的原函数. 2. 若函数 f (x) 在区间 I 上连续 ，则它在区间 I 上存在原函数. 3. 不定积分的定义 在区间 I 上，函数 f (x) 的带有任意常数项的原函数称为 f (x) 在区间 I 上的不定积分， 记作 f (x)dx ，其中 称为积 分号， f (x) 为被积函数， f (x)dx 为被积表达式， x 称为 积 分变量. 4. 基本积分公式 (1) kdx kx C ( k 是常数)， 1 (2) x dx x 1 C 1 ， x dx (3) ln x C ， dx (4) 1 x2 arctan x C ， (5) dx 14 1 x2 arcsin x C ， (6) cos xdx sin x C ，(7) sin xdx cos x C ， cos2 x dx (8) sec2 xdx tan x C ， dx (9) csc2 xdx cot x C ， sin2 x (10)sec x tan xdx sec x C ， (11) csc x cot xdx csc x C 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲 义 (12) exdx ex C ， x 15 x a ln a (13) a dx C . 二、不定积积分的积积分法 1. 第一换元积分法(凑微分法) 设 f (u) 具有原函数，u (x) 可导，则 f (x)(x)dx f (x)d(x) 令 u ( x) f (x)(x)dx f udu F (u) C F(x) C . 2. 第二换元积分法 设 x (t) 单调 的可导函数，且(t) 0 ，若 f (t)(t)dt G(t) C ，则 令 x ( t ) f (x)dx f (t)(t)dt G(t) C G 1(x) C . 3. 分部积分法 设 u u(x), v v(x) 具有连续导 数，则u(x)v(x)dx u(x)v(x) v(x)u(x)dx . 四、定积积分 1. 定积分的定义 设函数 f (x) 在a, b 上有界，在a, b 中任意插入若干个分点把区间a, b 分 成 n 个小 区间 x0 , x1 ， x1, x2 ， ， xn1, xn ， 各个小 区间 的长 度 依次为 x1 x1 x0 ， x2 x2 x1 ， ， xn xn xn1 在每个小区间 xi1, xi 上任取一点 i ( xi1 i xi )， 作 函 数 值 f (i ) 与 小 区 间 长 度 xi 的 乘 积 f (i )xi i 1, 2, n ， 并 作 出 和 n S f (i ) xi ，记 max x1, x2 , xn，如果不论对a, b 怎么样划分，也不 论 i1 在小区间 xi1, xi 上 i 怎样选 取，只要当 0 时，和 S 总趋 于确定的极限 I ，那么称 这 b a 个极限 I 为函数 f (x) 在a, b上的定积分，记作 f (x)dx .， 即： n b a 0 i1 f (x)dx lim f (i )xi . 其中， f (x) 叫做被积函数， f (x)dx 称为被积表达式， x 称为积 分变量， a 叫做积分下限， 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义 b 叫做积分下限， a, b叫做积分区间. 2. 定积分的几何意义：函数 f (x) 在a, b 上的定积分是曲线 y f (x) 与直线 x a ，x b ， x 轴所围成的曲边梯形面积的代数和. 3. 定积分的性质 (1)两条规定 a ba a f (x)dx 0 ； a f (x)dx b f (x)dx . (2)定积分的性质 bbb bb bcb b b bb a f (x) g(x)dx a f (x)dx a g(x)dx . a kf (x)dx ka f (x)dx ( k 是常数). 设 a c b ，则 a f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx . 如果在区间a, b 上 f (x) 1，则 a f (x)dx b a . 如果在区间a, b 上， f (x) 0 ，则 a f (x)dx 0 (a b) . 推论 1: 如果在区间上， f (x) g(x) ，则 a f (x)dx a g(x)dx (a b) . bb 推论 2： a f (x)dx a 16 f (x) dx . 设 M 和 m 是 函 数 f (x) 在 区 间 a, b 上 最 大 值 及 最 小 值 ， b a m(b a) f (x)dx M (b a) . 如果函数 f (x) 在积分区间a, b 上连续 ，则在a, b 上至少存在一点 使得 b a f (x)dx f ( )(b a) . 奇偶函数的积分性质： a a f (x)dx 0 ( f (x) 奇函数). 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲 义 0 aa a f (x)dx 2 f (x)dx ( f (x) 偶函 数). 周期函数的积分性质: 0 T a aT 设 f (x) 以 T 为周期， a 为常数，则f (x)dx f (x)dx . 五、微积积分基本公式 1. 积分上限的函数及其导数 (1)积分上限的函数的定义 x a 设函数 f (x) 在区间a, b 上连续 ，则任取 x a, b ，定积分 f (t)dt 有一个 对应值 ， x a 所以它在区间a, b 上定义了一个函数，记作： (x) f (t)dt a x b ， 称为积分上 限函数. (2)积分上限的函 数的导数 x a 如果函数 f (x) 在积分区间a, b 上连续 ，则积 分上限函数 (x) f (t)dt 在a, b 上 x a d dx 可导，且 (x) f (t)dt f (x) ( a x b ). 2 ( x) 1 ( x) (3)(推广形式)设 F (x) f (t)dt ，1(x),2 (x) 可导， f (x) 连续 ， 则 2211 F (x) f (x) (x) f (x) (x) . x a 注：若函数 f (x) 在区间a, b 上连续，则函数 (x) f (t)dt 就是 f (x) 在a, b 上的一 个 原函数. 2. 牛顿-莱布尼茨公式 如 果 函 数 F (x) 是 连 续 函 数 f (x) 在 区 间 a, b 上 的 一 个 原 函 数 ， 则 b 17 b a f (x)dx F(x) a F(b) F(a). 六、定积积分的换换元积积分法和分部积积分法 1. 设函数 f (x) 在区间a, b 上连续 ，函数 x (t) 满足条件： ( ) a ，( ) b ； (t) 在 , (或 , )上具有连续导 数，且其值域 R a, b， 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲 义 b a 则有 f (x)dx f (t)(t)dt . b a b a b v(x)uxdx u(x)v(x) 2. 分部积分法 u(x)v a x dx . 1 七、定积积分的应应用 1. 平面图形的面积 (1)直角坐标系 由 曲 线 y y1(x) ， y y2 (x) 和 直 线 x a ， x b 围 成 的 图 形 的 面 积 为 ： b a S y2 (x) y1(x) dx . (2)极坐标系 由曲线 1( ) ， 2 ( ) 及射线 ， 围成的图 形的面积为 ： 2 18 1 2 2 S 1 2 ( ) 2 ( )d . 2.旋转体的体积 (1)由曲线 y f (x) ( f (x) 0 ) 与直线 x a ， x b 和 x 轴围 成的平面图 形 2 b x a 绕 x 轴旋转一周的体积为 ：V f (x) dx . b y a 绕 y 轴旋转一周的体积为 ：V 2xf (x)dx . (2)由曲线 x g( y) ( g( y) 0 )，与直线 y c ， y d 和 y 轴围 成的平面图 形 2 d y c 绕 y 轴旋转一周的体积为 ：V g x dy . d c 绕 x 轴旋转一周的体积为 ：Vx 2 yg y dy . (3)平行截面面积为已知的立体的体积 平面 x a ， x b 之间的立体，若过点 x 且垂直与 x 轴的截面面积为 A(x) 已知，则该立体 b 的体积为V a A(x)dx . 3. 平面曲线的弧长* (1)参数方程所表曲线的弧长 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲 义 x (t) 设光滑曲线 L : y (t) t ，(t) ， (t) 在 , 上有连续 的导数，则曲线 22 L 的弧长为 S (t) (t) dt . (2)直角坐标系 设 光滑曲 线 L : y f (x) ， a x b , f (x) 有连 续 的导 数 ，则 曲线 L 的 弧长 b a S 1 y2 dx . (3)极坐标系 设光滑曲线 L : r ( ) ， ， ( ) 在 , 上有连续导 数，则曲线 L 的弧 长 S ( ) 2 ( ) 2 d . 4. 旋转体的侧面积* 曲线 y f (x) ( f (x) 0 ) 与直线 x a ，x b 和 x 轴围 成的曲边梯形绕 x 轴旋转一 周 b 19 y a 得到的旋转体的侧面积为 ：V 2f (x) 1 y2 dx . 第五讲讲微分方程 一、微分方程的基本概念 1. 微分方程的定义：凡表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程称为微分 方 程. 2. 微分方程的阶：微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶. 3. 微分方程的解 (1)若将函数带入微分方程中能使方程变为恒等式，这样的函数称为微分方程的解. (2)微分方程 的解中含有自由常数，且含有独立常数的个数等于方程的阶数，这样的解称为微 分方程的通 解. (3)微分方程的不含有自由常数的解称为微分方程的特解. 二、一阶阶微分方程 1. 可分离变量的微分方程 2015 考研数学基础班高等数学辅导讲 义 dx 1122 dy (1)方程形式： P(x)Q( y) (Q( y) 0) 或 M (x)N ( y)dx M (x)N ( y)dy 0 . M (x)N ( y)M (x)N ( y) (2)解法：先分离变量成 1 dx 2 dy ，再两边积 分 1 dx 2 dy C . M2(x)N1(y)M2(x)N1( y) 2. 齐次方程 dx dy y x (1)方程形式： . xdxdx ydydu (2)解法： u ，则 u x (u) ，两边积 分 得 du (u) u x dx C . 三、一阶线阶线 性微分方程 1. 一阶线性微分方程 dy (1)方程形式 P(x) y Q(x) . dx (2)解法：常数变易法求得通解 y e P xdx Q x e P xdxdx C . 2. 贝努利方程* dx dy (1)方程形式： P