对面积的曲面积分(39).ppt

返回上页页下页页目录录 新课引入 前面我们讲述了两类曲线积分： 对弧长曲线积分（第一类） 对坐标曲线积分（第二类）。 这一节我们讲述了对面积的曲面积分， 同样我们也要讲述两类曲面积分： 对面积的曲面积分（第一类） 对坐标的曲面积分（第二类）。 Date1 返回上页页下页页目录录 Date2 返回上页页下页页目录录 设光滑曲面 则面积 A 可看成曲面上各点 处小切平面的面积 d S 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d , (称为面积元素或面积微分) 则 Date3 返回上页页下页页目录录 第四节 对面积的曲面积分 第九章 （Surface Integral for Area) 一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算 三、小结与思考练习 Date4 返回上页页下页页目录录 引例: 设曲面形构件具有连续面密度 类似求平面薄板质量的思想, 采用 可得 求质 “分割, 近似求和, 求极限” 的方法, 量 M. 其中, 表示 n 小块曲面的直径的 最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 一、对面积的曲面积分的概念与性质 1. 曲面形构件质量的计算 Date5 返回上页页下页页目录录 2. 对面积的曲面积分的概念 Date6 返回上页页下页页目录录 特别别地, 当 时时,曲面积积分 就是曲面 块块 的面积积. Date7 返回上页页下页页目录录 3. 对面积的曲面积分的性质 则对面积的曲面积分存在. 对积分域的可加性. 则有 线性性质. 在光滑曲面 S 上连续, 积分的存在性. 若 S 是分片光滑的, 例如分成两 片光滑曲面 Date8 返回上页页下页页目录录 二、对面积的曲面积分的计算 （证明从略. ） Date9 返回上页页下页页目录录 则 则 Date10 返回上页页下页页目录录 例1 计计算 被 平面 所截 得的顶顶部 (图图22-1). 为为 定义义域 解 曲面 的方程为为 圆圆域 由于 Date11 返回上页页下页页目录录 因此由公式 (2) 求得 Date12 返回上页页下页页目录录 若 是球面被平行平面 z =h 截 出的上下两部分, 则 思考: Date13 返回上页页下页页目录录 Date14 返回上页页下页页目录录 Date15 返回上页页下页页目录录 例3 解 Date16 返回上页页下页页目录录 Date17 返回上页页下页页目录录 例4. 计算曲面积分 其中 S 为立体 的边界曲面. 解设 Date18 返回上页页下页页目录录 所以 Date19 返回上页页下页页目录录 例5 计计算 其中 为圆锥为圆锥 面 被圆圆柱面 所割 下的部分 (图图22-2). 解 对对于圆锥圆锥 面 有 Date20 返回上页页下页页目录录 因此 用二重积积分的极坐标变换标变换 , 在平面上的投影为为而 Date21 返回上页页下页页目录录 Date22 返回上页页下页页目录录 内容小结 2对面积的曲面积分的计算是将其化为投影域上 的二重积分计算. （按照曲面的不同情况投影到三 坐标面上） 1对面积的曲面积分的概念; 注意：一投、二代、三换 Date23 返回上页页下页页目录录 思考与练习 1. 在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中, 有 因子 , 试说明这个因子的几何意义. 答：是曲面元的面积, 故 是曲