计算教学中的创新思维培养.ppt

数与代数领域教学中 创新思维培养 乌鲁木齐市教育研究中心 韩辉 知识的本质上是一种结果，可以是经验的 结果，可以是思维的结果。知识为本的教 育在本质上是结果性的教育。 智慧表现在过程之中，而表现在过程中的 东西必须通过过程来教育。 一、数与代数的编排体系 专题 1 ：数的认识、数的运算、常见的量 的内容分析与建议 主要集中在以下四个问题。 1. 如何建立“数”的概念？ 2. 如何处理运算教学中的算理与算法的关 系？ 3. 如何落实新课标对估算的要求？ 4. 如何依托现实情境帮助学生体现和理解 常见的量。 问题一： 如何建立“数”的概念 一、课标中“数的认识”有何变化 数的概念是学生认识和理解数学的开始，理解数的意义 伴随着学生学习数学的整个过程，从自然数逐步扩展到 有理数、实数，学生将不断增加对数的理解和运用。在 小学阶段数的认识 包括 整数的认识、分数、小数和百 分数的认识、负数的认识、数的整除性相关的内容、数 的简单应用等。在教材的安排中， 整数的认识中分为 10 以内认识、 20 以内的认识、 100 以内的认识、万以 内的认识、大数的认识等；分数和小数的认识都为两个 阶段、一个是初步的认识，另一个分数和小数的意义。 二、在建立数概念中要注意的问题 （一） 在整数的认识中要注意的问题 建立正确的数的概念是认数教学的任务，也是 学生学习数学的起点 。 理解数的意义一般有两 个角度 ， 一是从数的组成去理解，通过组成理 解数的大小和多少，加强对数的感知。二是联 系生活实际来体会 ，通过在具体的现实情境中 ，理解数在生活实际中的意义，使抽象的数和 具体的量有机的结合，进一步理解数的意义。 1. 依托多种形式建立整数数概念 （ 1 ）在具体情境中理解数的意义 （具体 抽象） （ 2 ）用操作帮助学生具体感知 自然数的认识的教学重点在于使学生从数量抽 象到数， 抽象离不开直观的支撑和 操作，例如 ：计数器、小棒、图形等等，让学生亲自的数 一数，摆一摆，圈一圈、画一画，学生数的过 程也是一一对应的过程，同时感受具体的数量 。 （ 3 ）多种模型的表征 通过方格模型的演示，让学生体会 10 个一是十， 10 个十是一百， 10 个 一百是一千， 10 个一千是一万，通过几何图形的点、线、面、体，使 学生在头脑中建立“一、十、百、千”的映像，同时建立十个千就是一个万， 在学生的头脑中建立一个清晰的模型“满十进一”，对于学生理解基数单位和 位值制是有很大好处的。 2. 把握核心概念， 重视数位和位置值的 理解 （ 1 ）重视 10 的概念的建立 （ 2 ）重视数计数单位： （ 3 ）重视数位顺序表的使用 案例：地球上的火山个数是一个三位数， 数字和是14，十位数字比百位数字大3， 如果将百位数字与个位数位对调，所得的 新数比原来小99，火山个数是多少？ 3. 关注对大数的感受 感受大数与情境的具体内容有关， 1200 张纸大 约有多厚？你的 1200 步大约有多长？ 1200 名 学生站成做广播操的队形需要多大的场地？这 些具体的情境学生可以通过实际操作和观察感 受。有时还要加入想象的成份， 1200 名学生需 要多大场地，许多学校可能没有这么多人，学 生就需要了解自己的学校有多少人，占多大地 方，再想象 1200 人会占多大地方。 （二）在建立分数概念中要注意的问题 1. 加强对分数丰富意义的理解 两个主线 即“比的线索”和“数的线索”。“比”指的是一 部分与另一部分之间的关系；“数”指的是 以有理数形式出现的分数，此时的分数表 现的是一个结果。 分数意义理解的四个层面 （1）“比率” 是指部分与整体的关系和部分与部 分的关系。其中部分与整体的关系更多地体现 在真分数的含义中。 （2）“度量” 指的是可以将分数理解为分数单位 的累积。 （3）“运作” 主要指的是将对分数的认识转化为 一个运算的过程。例如，求 6 张纸的 是多少张 纸，学生将 理解为整体 6 张纸的 ，即将 6 张 纸这个整体平均分成 3 份，取其中的 2 份，列 出算式就是 6 3 2 ，也就是 6 。 （4）“商” 这个维度主要是指分数转化为 除法之后运算的结果，它使学生对于分数 的认识由“过程”凝聚到“对象”，即分数也 是一个数，也可以和其他数一样进行运算 。 2 利用多种模型帮助学生理解分数的意 义 （ 1 ）分数的面积模型：用面积的“部分 整体”表示分数 （ 2 ）分数的集合模型：用集合的“子集 全集”来表示分数 例如，把 4 个桃子看作“单位 1 ” 平均分成 2 份，每份 2 个占整体的 。分数的集合 模型需要学生有更高程度的抽象能力，其 核心是把“多个”看作“整体 1 ”。 （ 3 ） 分数的“数线模型”：数线上的点表 示分数 3. 把握好每一阶段完成的任务 第一阶段：认识平均分。 第二阶段：在分数的初步认识教学中，帮助学生初步建 立部分与整体关系的认识，感受分数。 第三阶段：在分数意义和分数基本性质的教学中，重点 使学生发展对于分数理解的比率、度量的维度。 第四阶段：在分数与除法关系的教学中，重点使学生发 展对于分数理解的运作、商的理解。 第五阶段：在分数的运算及解决问题的教学中，鼓励学 生综合运用对于分数意义理解 的多个维度。 （三）在建立小数数概念中要注意的问题 在分数初步认识学习的基础上，教材安排了小 数的初步认识。 1. 利用知识迁移建立小数概念 例如 8 分米是十分之八米是学生已有的知识 ， 只要通过提问 ， 引起学生的回忆和思考 ， 还 可以写成 0.8 米 ， 也就是同一对象的两种不同 形式 ， 使小数和分数建立起直接的联系 ， 使 学生进一步体会到 ： 十分之几和一位小数 ， 百分之几和两位小数之间的关系 。 2. 沟通整数、小数、分数之间的关系 关注学生的推理能力。 3. 把握好小数认识的两个阶段的教学 问题二： 如何处理运算教学中算理与算法的关系 一、 课标对“数的运算”有什么新要求 新课程标准中明确指出，在数学课程中，应当注重发展学 生的运算能力。 运算能力主要是指能够根据法则和运算律 正确地进行运算的能力。 培养运算能力有助于学生理解运 算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。同时在 课标解读中也强调“应当淡化对运算的熟练程度的要求 ，选择正确的计算方法，准确地得到运算结果，比运算的 熟练程度更重要。应当重视学生是否理解了运算的道理， 是否能准确地得出运算的结果，而不是单纯地看运算的速 度。”这一目标的提出就要求教师在数的运算教学中，不 能仅仅关注于学生运算技能的掌握，更要注重学生理解算 例、掌握算法的学习过程，也就是在教学中要注重将算理 与算法有机的结合在一起，从而发展学生的运算能力。 学习数的运算的过程就是发展逻辑思维能 力的过程 计算品质 二、什么是计算品质？ 计算不是机械地按照计算法则进行程序操作 ，而是灵活运用计算法则、运算定律等知识求 值的思维过程。同时，计算也是一种推理，是 依据数的概念、运算意义、运算法则、运算性 质、运算律等知识所进行的数值关系的推理。 通过推理，将算式最后演绎成一个数。计算的 思维品质也就是计算品质。 计算品质包括：准确性（基础）、熟练性、 灵活性、简捷性。 学生前测的题目 你能计算下面的分数加减法吗？你打算怎么计算？ 说明理由。 若不会算，说说你的困惑在哪儿？ 案例 如何找到核心问题? 学生调研 学生已有知识基础（包括知识技能、方法 ） 学生已有生活经验和学习该内容的经验 学生学习该内容可能的困难 学生学习的兴趣、学习方式等 资料学习 教学目标 理解和掌握异分母分数加减法的计算方法， 理解“为什么要通分”的道理。 在原有的知识经验基础上，利用知识的迁移 ，数形结合的思想在辨析中自主构建新知， 渗透转化的数学思想同时促进学生反思能力 的提高。 在活动中体会探究的快乐。 教学重点： 理解“只有分数单位相同才能相加 减”的道理。 教学难点： 让学生明白“为什么要转化” 的 道理。 人数比第二 题少了，怎 么回事？ A:学生不会做,在思考时产生了疑问,没找到解决问题的办 法 这种想法是学生受了整 数,小数减法计算算理的 影响. B:受整数和小数加减法的影响，没有验证的意识。 C:学生的想法受到同分母分数计算方法负迁移的影响， 没有验证的意识。 对于第二题学生 已有一定的经验 ,但做第三题时, 学生受到数据干 扰,思维开始混 淆,产生了疑问. D:学生意识到单位 相同的数才能相加减。 E:学生有验证的意识 。 虽然不对,但是已 经有了一些想法. 受数据影响开始 产生困惑 F:学生能够 根据分数的 意义,通过 画图来解题 . 三、重视学前调研，确立合情目标以20 以内进位加法（一年级）为例 1、教学起点如何定位？教学的重心如何转向？ 现象：学前基础的调查与教学启示 2001年11月对即将学习此内容的470学生进行 调查，45.93%学生能较熟练进行计算，计算速 度达到每分钟8题，平均每题通过率77.53%。 2009年再次对这一地区新入学的491名学生调研 ，学前平均每题通过率达到91.62% 学生在正式学习20以内进位加法之前，与 课标提出的每分钟810题的要求 已经十分接近。仅仅将熟练计算作为目标 是远远不够的。 教学的重心不再是计算技能的习得，而 应该在理解算理和掌握算法的基础上，把 重心放在计算方法训练上，通过个种形式 的训练挑战学生的思维，培养学生的自我 创新能力。 2.问题情境的设计与算理理解 强调以凑十法为基础的算法多样化（教材） 创新思维的表现 情境活动隐含了“凑十”的思考过程，通过情景 支持对算理的理解 学生经历了问题情境、语言叙述、算式表征的 转译过程 在相似的情境中迁移计算方法，解决8加几，7 加几.在巩固练习中形成熟练技能，提高教 学效率。把更多精力投入更有价值的学习活动 。 3.数学思想与数学方法的训练与养成 （1）数形转换 （2）信息推理 理解基数、序数关系的基础上，对信息进 行加工处理。 我后面还有7位 （3）联系比较 根据式与式之间的关系，灵活选择计算的方法 ，并未后继学习乘加、乘减做准备。 填空，说说你是怎样想的。 6+5=（ ） 5+6=（ ） 6+6=12 （ ） 6+7=( ) （）代数思维 从同数连加求和，到同图连加、已知和求图形 表示的数，培养逆向思维能力，渗透代数思维 。 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （）构造性方法 例如，等距搭配，观察数列的规律，构建和相 等的式子。 把,填在（ ）里 （ ）（ ）（ ）（ ） （ ）（ ） 前准备题：,中 （ ）（ ） （ ）（ ）（ ）（ ） 把,填在里 四、口算训练也要追求有效教学以“整百数 乘一位数口算”为例 如： 怎样教？ 思考：生用整百数的百位数与乘数相乘，再添 上末尾的“”。就可以了吗？ 1.从掌握算法到明白算理 （算理） 理解算理 个百乘得到个百（算理） 掌握算 法 （算法） 2.从思维的停滞到思维的灵动 反复操练乘法口诀和补“” 设计方案： （1） 猜一猜下一道题应该是多少？ 注重比较： .四道题有什么共同点？（二三得六） .四个表示的意思有什么不同（为什么用同 样的口诀，末尾所添的“”的个数不同？ （）李叔叔有一些面值相等的人民币， 总共元，你知道他有几张几元的人 民币吗？ （ ）（ ） 3.注重从旧知识的迁移到新知识的拓展 层次：根据 （ ） （ ） 层次.估算：每辆自行车个轮子， 个轮子装辆车够不够？ 每辆车的价格元，买辆大约多少 元？ 层次：从口算到解决问题 五、通过算法多样化展开学生的思维过程 。以两位数乘两位数为例 两位数乘两位数，如果仅仅考虑获得计算 结果，无疑竖式是最优化的方法。一旦这 种计算方法成为学生唯一方法，就容易造 成“认知的被动”和“理解的中止”。两位数 乘两位的计算教学中培养学生的创新思维 ，主要体现在算法多样化上。 算法多样化，不同于一题多解，不强求学 生一定按照“标准程序”计算，而是鼓励学 生独立思考，创造个性化的计算方法。 思考：（1）两位数乘两位数算理的基础 是什么？ （2）两位数乘两位数算法多样的 基础是什么？ 例如：2815=？ 可以用乘法结合律思考 2815=2835=1403=420 2815=1547=607=420 也可以用乘法分配律思考 2815=28（10+5） 2815=（30-2）15 =2810+285 =3015-215 =420 =420 如果：2319=？ 观察：这两个数和前面的数有什么区 别？ 如果：2319=？ 观察：这两个数和前面的数有什么区 别？ 结论：（1）良好的数感是两位数乘两位 数算法多样化的基础。乘法分配律是算理 的基础。 （2）反思，我们的教材将乘法运算定律 放在两位数乘两位数之后，可能会制约算 法多样化。 2从常规算法到灵活选择方法 以良好的数感为基础寻求简洁的运算途 径。教学中要引导学生思考数与数之间的 关系，灵活选择计算方法，实现计算策略 的灵活性和创造性。 如：3254=？ 2507=？ 3.竖式计算法则的内核是位值原则和运算 定律。 六、关注推理能力的培养以表内乘 、除法教学为例 乘除法是学生学习了加减法之后再学习的 新运算。 1.结合“乘加、乘减”的学习，引导学生推 导乘法口诀。 838=8 2.创设“共变”情境，体会函数思想 3.利用数形，进行抽象推理 =4 + =4+（ ）=（ ） 4.对倍数概念进行正向和逆向的应用，可 以培养学生的推理能力。 （1）1对多的推理 根据条件与问题之间的直接联系构建乘法 算式。 如果= 那么9个=（ ）个 （2）三段推理由两个条件作为前提 ，根据两个条件之间的联系，构建新的条 件（结论） 如果=4，=9， 那么=（ ）个 （3）对应推理 表示的数比表示的数少多少？ =5+5+5+5+5+7+7 =7+7+7+7+7+9+9 每份量的差份数=总数差 关系推理 已知24 如果=5，那么+= 如果=2，那么+= 总之，乘除法的学习，不仅仅是掌握运算 技能，还要通过丰富多变的联系，培养学 生的思维能力，特别是重视运用抽象的推 理解决问题 七、注重抽象思维的培养，深化算理的理 解以带余除法的教学为例 带余除法不仅是多位数除法的基础，而且 联系着“周期性”等数学问题 1.带余除法教学重点是意义理解，学习难 点是求商。 2.教学时需要通过具体操作活动，让学生理解带 余除法的意义，通过不同层级的抽象，帮助学 生建立“余数要比除数小”。 结合具体操作活动，认识余数的真实存在 。 例如：有20个乒乓球，如果每6个装1盒，最多 可以装（ ）盒，还剩（ ）个。 206=（ ） 侧重讨论：余下两个球能否装一盒？ “2”在算式中可以不写吗？ 在具体情境中，寻找算式表示的意义 例如：要求每份一样多，可以怎样圈？ 23= 19= 深化对余数的理解，沟通带余除法各部 分之间的关系。 35+2= 4+= 3=52 174= 运用原理，抽象推理。 例如：在有余数的除法算式34（ ）= （ ）4中，商有（ ）种可能。 A、3 B、4 C、5 D、无数 在有余数的除法中，除数是b,商是c（b、 c不等于0）。被除数最大是（ ） A、bc B、bc+b C、bc-1 D、 bc+b-1 3.运用带余除法的基本原理，培养学生良 好的思维习惯。 70以内的数除以7，余数是5.你能写出 哪些数？ 转译：（ ）7=（ ）5 （ 突出有序思考） 有一张边长24厘米的正方形纸，如果在它的四 个角各剪去一个边长为整厘米的小正方形，就 可以做成一个无盖的纸盒。现在要使做成的纸 盒容积最大，剪去的小正方形的边长应为几厘 米？ 分析：可以从剪去边长为1厘米的小正方形想起 。 边长1厘米时：（24-12）1=484 边长2厘米时：（24-22）2=800 边长3厘米时：（24-32）3=972 边长4厘米时：（24-42）4=1024 边长5厘米时：（24-52）5=980 运用带余除法的原理，解决实际问题， 提高思维能力。 第35个图形是（ ），第50个图形是（ ）。， 二、如何把握估算教学的内容及其要求 （一）为什么教 估算在日常生活中有着广泛的应用。 有利于人们事先把握运算结果的范围，是发展 学生数感的重要方面。 为判断计算器、口算和笔算结果是否合理提供 了依据。 在具体情境中估算，有利于学生提高判断、选 择的能力。 估算有利于培养学生做事的计划性。 估算对学生后续的数学学习有重要作用。 （二）教什么 关于“教什么”要依据新课标中的要求，展开教学 。至少教学要涉及“估算方法”、“估算策略”。 估算方法： 凑整的方法。 如凑成一个整十、整百的数。 取一个中间数。 如32、37、 30 和39这四个数求和，这些数都很 接近35，有的比35多一点，有的比35少一点，就取一个中间数35 ，直接用354，就大约地计算出了这几个数相加的结果。 用特殊的数据特点进行估数。如126 8，就可以想到125 8， 125的8倍，就得到1000。 寻找区间。 也就是说叫寻找它的范围，也叫做去尾进一，去尾就 是只看首位，那么只看首位的时候，估得的结果就是它的至少是多 少；进一就是首位加一，假如说278，就看成了300，首位加一， 这样就是它最多可能是多少，这样得到一个范围，就是寻找它的区 间范围。 大小协调。 两个数，一个数 往大了估，一个数往小了估，或者 一个数估一个数不估。 先估后调。 利用乘法口诀凑数。 这种方法一般用于除法的估算，一般用除数 乘一个整十数、整百数或整百整十数，如果乘积最接近被除数，则 这个数就是除法估算的商。如 3586 ，用除数 6 乘整十数 60 ，其 积 360 最接近被除数 358 ，那么整十数 60 即是所求的商。 （三）怎么教？ 在教学中 首先要考虑估算的教学目标，如 果把目标仅仅定位在就教会凑整估算，或 是见到 “ 大约 ” 就要估算，做一些机械的 训练，可能就会给学生形成一种错误的定 势。而估算教学中，首要重要的如何培养 学生近似的意识，这是我们数学教学本身 应该关注的问题，应该作为重要的教学目 标来进行实施。 引导学生在问题情境的对比中，选择估算 或精确计算，不断地积累这方面的经验。 作为数学教师，要想办法搜集或者捕捉一 些好的素材，在具体的问题情境当中让学 生去感受，什么样的问题解决需要近似值 ，就是需要估算，哪些问题解决一定要算 出精确值，比如“全家吃饭”饭费大约200 元，就是估算。没有必要精确地计算。但 作为饭店的收银员就需要精确计算，估算 显然不行。 2. 要选好题目，提出好问题，让学生体会估算 的意义和价值。 作为教师，在教学设计当中，首先要选好题目 ，提出有估算价值的问题。比如，三位数除以 两位数，你估一估这道题，它的商是几位数？ 这个问题就有价值。另外，只有选好题目、提 出好问题学生才能自觉体会到估算的价值，学 生有了对估算价值这种体验以后，他的估算意 识才能不断增强。 3. 鼓励方法多样化，重视交流、解释过程，让学生进行合理估算。 4. 做好对估算的有效评价 （ 1 ）对估算意识的评价 首先看一个案例，摘自 TIMSS 的测试： 保罗用 $5 去购买牛奶、面包和鸡蛋。当他到达商店时，发现这三种食品 的价格如下图所示： 在下列哪种情况下使用估算比精确计算有意义？ A. 当保罗试图确认 $5 是否够用时； B. 当销售员将每种食品的价钱输入收银机时； C. 当保罗被告知应付多少钱时； D. 当销售员数保罗所付的费用时。 这个题目设计的比较巧妙，它通过一个具体问题，考察学生能否在具体情 境下对是否需要计算估算进行判断，也就是考察学生是否具备了一定的估 算意识。此题